Cho phương trình $x^{2} – 2(m-1)x + 2m -4 =0 $ ( 1) (m là tham số)
a) CM rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi $x_{1}$ $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A= x_{1}^{2}$ $+x_{2}^{2}$
Cho phương trình $x^{2} – 2(m-1)x + 2m -4 =0 $ ( 1) (m là tham số)
a) CM rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi $x_{1}$ $x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A= x_{1}^{2}$ $+x_{2}^{2}$
Đáp án:
`A_{min}=3` khi `m=3/2`
Giải thích các bước giải:
`a)` `x^{2} – 2(m-1)x + 2m -4 =0`
`∆’=b’^2-ac=[-(m-1)]^2-1.(2m-4)`
`=m^2-2m+1-2m+4=m^2-4m+4+1`
`=(m-2)^2+1\ge 1>0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
$\\$
`b)` Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-4\end{cases}$
Ta có:
`A=x_1^2+x_2^2`
`=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2`
`=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`=(2m-2)^2-2.(2m-4)`
`=(2m)^2-8m+4-4m+8`
`=(2m)^2-12m+12`
`=(2m)^2-2.2m.3+9+3`
`=(2m-3)^2+3`
Với mọi `m` ta có:
`\qquad (2m-3)^2\ge 0`
`=>A=(2m-3)^2+3\ge 3`
Dấu “=” xảy ra khi
`(2m-3)^2=0<=>2m=3<=>m=3/ 2`
Vậy $GTNN$ của $A$ bằng $3$ khi `m=3/ 2`
Đáp án:
a) $x^2 -2(m-1)x +2m-4=0(1)$
$ (a=1 ; b =-2 ; c =2m-4)$
$Δ=b^2 -4ac$
$=[-2(m-1)]^2 -4.1.(2m-4)$
$ = 4m^2 -8m +4 -8m+16$
$ = 4m^2 -16m +20$
Để (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt thì
$Δ >0$
$⇔ 4m^2 -16m +20 > 0$
$ ⇔(2m -4)^2 +4 > 0 $ với mọi m
⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1 ,x_2$ với mọi m
b) – ÁP dụng vi -ét ,ta có :
$S= x_1 +x_2 = 2(m-1) =2m-2$
$P = x_1 . x_2 = 2m-4$
Theo đề bài , ta có :
$A= x_1^2 +x_2^2$
$=(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2$
$ = S^2 -2P$
$= (2m-2)^2 – 2.(2m-4)$
$ = 4m^2-8m +4 -4m+8$
$ = 4m^2 -12m +12$
$ = 4m^2 -12m +9 +3$
$ =(2m-3)^2 +3$
Vì $(2m-3)^2 ≥ 0$
Nên $(2m-3)^2+3 ≥ 3 $
Dấu ”=” xảy ra khi $2m-3 =0 ⇔ m =\dfrac{3}{2}$
Vậy Min $A= 3$ tại $m =\dfrac{3}{2}$