Cho phương trình `x^2+2(m-1)x+4m-11=0`. Tìm m để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1, x_2` thỏa mãn: `2(x_1-1)^2+(6-x_2)(x_1x_2+11)=72`
Cho phương trình `x^2+2(m-1)x+4m-11=0`. Tìm m để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1, x_2` thỏa mãn: `2(x_1-1)^2+(6-x_2)(x_1x_2+11)=72`
Đáp án:
`m\in {-3;2}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2+2(m-1)x+4m-11=0`
`∆’=b’^2-ac=(m-1)^2-1.(4m-11)`
`∆’=m^2-2m+1-4m+11`
`∆’=m^2-6m+12=m^2-6m+9+3`
`∆’=(m-3)^2+3\ge 3>0` với mọi $m$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=-2(m-1)=-2m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4m-11\end{cases}$
`=>x_1x_2+11=4m`
$\\$
`\qquad x_1` là nghiệm của phương trình:
`\qquad x^2+2(m-1)x+4m-11=0`
`=>x_1^2+2(m-1)x_1+4m-11=0`
`=>x_1^2+2mx_1-2x_1+4m+1-12=0`
`=>(x_1^2-2x_1+1)+2mx_1+4m-12=0`
`=>(x_1-1)^2=-2mx_1-4m+12`
$\\$
Theo đề bài:
`\qquad 2(x _1-1)^2+(6-x_2)(x_1x_2+11)=72`
`<=>2.(-2mx_1-4m+12)+(6-x_2).4m=72`
`<=>-4mx_2-8m+24+24m-4mx_2-72=0`
`<=> -4m(x_1+x_2)+16m-48=0`
`<=> -4m.(-2m+2)+16m-48=0`
`<=> 8m^2-8m+16m-48=0`
`<=> 8m^2+8m-48=0`
`<=>m^2+m-6=0`
`<=>m^2-2m+3m-6=0`
`<=>m(m-2)+3(m-2)=0`
`<=>(m-2)(m+3)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=2\\m=-3\end{array}\right.$
Vậy `m\in {-3;2}` thỏa đề bài