Cho phương trình $x^{2}-2(m+1)x+m^2+2=0$ với m là tham số. Tìm m để pt có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho `|x_1^4-x_2^4|=16m^2+64m`
Giúp với chi tiết nhé
Cho phương trình $x^{2}-2(m+1)x+m^2+2=0$ với m là tham số. Tìm m để pt có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho `|x_1^4-x_2^4|=16m^2+64m`
Giúp với chi tiết nhé
Đáp án: $ m = 1$
Giải thích các bước giải:
$ x² – 2(m + 1)x + m² + 2 = 0 (*)$
$ Δ’ = (m + 1)² – (m² + 2) = 2m – 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ \frac{1}{2} (1)$
Với điều kiện $(1)$ thì $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$ thỏa:
$x_{1} + x_{2} = 2(m + 1) > 0 (3); x_{1}x_{2} = m² + 2 > 0 (4)$
Không mất tổng quát từ $: (3); (4) ⇒ 0 < x_{2} < x_{1}$
$ ⇒ |x_{1}^{4} – x_{2}^{4}| = x_{1}^{4} – x_{2}^{4} = (x_{1}² – x_{2}²)(x_{1}² + x_{2}²)$
$ = (x_{1} – x_{2})(x_{1} + x_{2})[(x_{1} + x_{2})² – 2x_{1}x_{2}]$
$ = (x_{1} – x_{2}).2(m + 1)[4(m + 1)² – 2(m² + 2)] $
$ = 4m(m + 4)(m + 1)(x_{1} – x_{2})$
Theo gt $: 4m(m + 4)(m + 1)(x_{1} – x_{2}) = 16m² + 64m$
$ ⇔ (m + 1)(x_{1} – x_{2}) = 4$ ( vì $m ≥ \frac{1}{2}$)
$ ⇔ (m + 1)²(x_{1} – x_{2})² = 16$
$ ⇔ (m + 1)²[(x_{1} + x_{2})² – 4x_{1}x_{2}] = 16$
$ ⇔ (m + 1)²[4(m + 1)² – 4(m² + 2)] = 16$
$ ⇔ 4(m + 1)²(2m – 1) = 16$
$ ⇔ (m – 1)(2m² + 5m + 5) = 0 ⇔ m = 1$
Đáp án:
`m=1`
Giải thích các bước giải:
Ta có phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2` `⇔ Δ’≥0`
`⇔ (m+1)^2-(m^2+2)≥0`
`⇔ m≥1/2` $(*)$
Theo Viet ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+2 \\x_1x_2=m^2+2\end{cases}$
Ta có: `|x_1^4-x_2^4|=|(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)|`
`=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]|x_1-x_2||x_1+x_2|`
Mà `|x_1-x_2|=\sqrt[(x_1-x_2)^2]=\sqrt[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=\sqrt[(2m+2)^2-4(m^2+2)]=\sqrt[8m-4]`
Suy ra:
`|x_1^4-x_2^4|=[(2m+2)^2-2(m^2+2)]\sqrt[8m-4].|2m+2|`
`=(2m^2+8m)\sqrt[8m-4].|2m+2|`
Theo đề bài: `|x_1^4-x_2^4|=16m^2+64m`
`⇔` `(2m^2+8m)\sqrt[8m-4].|2m+2|=16m^2+64m`
`⇔ (m^2+4m)(\sqrt[8m-4].|2m+2|-8)=0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m^2+4m=0 &(1)\\\sqrt[]{8m-4}.|2m+2|=8 &(2)\end{array} \right.\)
Ta có: `(1) ⇔ ` \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-4\end{array} \right.\) $\text{(loại)}$
`(2) ⇔ (8m-4)(2m+2)^2=64`
`⇔32m^3+48m^2-80=0`
`⇔ m=1` $(\text{thỏa mãn (*)})$
Vậy `m=1` thỏa mãn yêu cầu bài toán.