Cho phương trình `x^2-2(m+1)x+m^2+4=0` (tham số m).
TÌm m để phương trình có hai nghiệm `x_1x_2` thỏa mãn `x^2+2(m+1)x_2le 3m^2+16`
Cho phương trình `x^2-2(m+1)x+m^2+4=0` (tham số m). TÌm m để phương trình có hai nghiệm `x_1x_2` thỏa mãn `x^2+2(m+1)x_2le 3m^2+16`
By Alice
`x^2 – 2(m+1)x + m^2 + 4 = 0`
`\Delta’ = (m+1)^2 – (m^2+4)`
`= m^2 + 2m + 1 – (m^2+4)`
`= m^2 + 2m + 1 – m^2 – 4`
`= 2m – 3`
Để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1,x_2` thì :
`\Delta’ \ge 0`
`⇔ 2m – 3 \ge 0`
`⇔ 2m \ge 3`
`⇔ m \ge 3/2`
Áp dụng hệ thức Vi ét , ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}x_1+x_2=2(m+1)\\x_1x_2=m^2+4\end{array} \right.\)
Ta lại có : `x_1^2 + 2(m+1)x_2 \le 3m^2 + 16`
`⇔ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 \le 3m^2 + 16`
`⇔ (x_1+x_2)^2 + 2x_1x_2 \le 3m^2 + 16`
`⇔ (2m+2)^2 – (m^2 + 4) \le 3m^2 + 16`
`⇔ m – 2 \le 0`
`⇔ m \le 2`
Vậy `3/2 \le m \le 2`
`x^2-2.(m+1)x+m^2+4=0(1)`
`Δ’=(m+1)^2-(m^2+4)`
`=m^2+2m+1-m^2-4`
`=2m-3`
Phương trình `(1)` có hai nghiệm `x_1;x_2`
`⇔Δ’≥0⇔2m-3≥0⇔2m≥3⇔m≥(3)/(2)`(*)
Với `m≥(3)/(2)` phương trình luôn có hai nghiệm `x_1;x_2` theo viet ta có:
`x_1+x_2=2.(m+1)`
`x_1.x_2=m^2+4`
`+)x_1^2+2.(m+1)x_2≤3m^2+16`
`⇔x_1^2+(x_1+x_2).x_2≤3m^2+16(Vì:x_1+x_2=2.(m+1))`
`<=>x_1^2+x_2^2+x_1.x_2≤3m^2+16`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2+x_1.x_2≤3m^2+16`
`<=>(2m+2)^2-(m^2+4)≤3m^2+16`
`<=>4m^2+8m+4-m^2-4≤3m^2+16`
`<=>4m^2-m^2-3m^2+8m≤16`
`<=>8m≤16`
`<=>m≤2`
KH điều kiện (*)`=>(3)/(2)≤m≤2`
Vậy `(3)/(2)≤m≤2`