Cho phương trình: $x^{2}$ – 2( m – 2 ) x – 5 = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 ; thỏa mãn||x1|-|x2 ||= 4
Cho phương trình: $x^{2}$ – 2( m – 2 ) x – 5 = 0 (m là tham số)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 ; thỏa mãn||x1|-|x2 ||= 4
Đáp án:
$m\in\{0;4\}$
Giải thích các bước giải:
$x^2-2(m-2)x-5=0$
Để phương trình có $2$ nghiệm: $\Delta’\ge 0$
$(m-2)^2+5\ge 0$
Ta có: $(m-2)^2\ge 0$
$⇒(m-2)^2+5>0$
$⇒∀m\in \mathbb R$
Áp dụng định lí Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=2(m-2)\\x_1.x_2=-5\end{cases}$
$||x_1|-|x_2||=4$
$⇒(||x_1|-|x_2||)^2=16$
$⇒x_1^2-2|x_1.x_2|+x_2^2=16$
$⇒(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2-2|x_1.x_2|=16$
$⇒(2m-4)^2-2.(-5)-2.|-5|=16$
$⇒(2m-4)^2=16$
$⇒\left[ \begin{array}{l}2m-4=4\\2m-4=-4\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}m=4\\m=0\end{array} \right.$
Vậy $m\in\{0;4\}$.
`x^2-2(m-2)x-5=0`
`\Delta’=[-(m-2)]^2-(-5)`
`\Delta’=(m-2)^2+5>0` với `AAm`
Do `\Delta’>0` nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Viet: `{(x_1+x_2=2m-4),(x_1.x_2=-5):}`
Do `x_1.x_2<0 =>` Hai nghiệm trái dấu
Không mất tính tổng quát giả sử: `x_1>0; x_2<0`
`-> |x_1|=x_1; |x_2|=-x_2`
Có: `||x_1|-|x_2||=4`
`<=> |x_1+x_2|=4`
`-> |2m-4|=4`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}2m-4=4\\2m-4=-4\end{array} \right.\)
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=4\\m=0\end{array} \right.\)
Vậy `m∈{4;0}`