Cho phương trình` x^2-2(m+2)x+m^2+3m-2=0`
Tìm m để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1, x_2` sao cho biểu thức:
`A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x_2^2 `đạt giá trị nhỏ nhất
Cho phương trình` x^2-2(m+2)x+m^2+3m-2=0` Tìm m để phương trình có `2` nghiệm phân biệt `x_1, x_2` sao cho biểu thức: `A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x
By Bella
Đáp án:
$A_{min}=\dfrac{7967}4$ đạt được khi $m=\dfrac12$
Giải thích các bước giải:
$x^2-2(m+2)x+m^2+3m-2=0$
$\Delta’=[-(m+2)]^2-(m^2+3m-2)$
$=m^2+4m+4-m^2-3m+2=m+6$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $⇔m+6>0⇔m>-6$
Theo hệ thức Vi-ét: $\begin{cases}x_1+x_2=2m+4\\x_1x_2=m^2+3m-2\end{cases}$
Ta có:
$A=2018+3x_1x_2-x_1^2-x_2^2$
$=2018+3x_1x_2-(x_1^2+x_2^2)$
$=2018+3x_1x_2-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]$
$=2018+3(m^2+3m-2)-[(2m+4)^2-2(m^2+3m-2)]$
$=2018+3m^2+9m-6-(4m^2+16m+16-2m^2-6m+4)$
$=2012+3m^2+9m-(2m^2+10m+20)$
$=2012+3m^2+9m-2m^2-10m-20$
$=m^2-m+1992$
$=m^2-m+\dfrac14 +\dfrac{7967}4$
$=\bigg(m-\dfrac12\bigg)^2+\dfrac{7967}4 \geqslant \dfrac{7967}4$
Dấu $=$ xảy ra $⇔m=\dfrac12\ (TM)$
Vậy $A_{min}=\dfrac{7967}4$ đạt được khi $m=\dfrac12$
Đáp án:
x² – 2(m + 2)x + m² + 3m – 2 = 0
Δ’ = (m + 2)² – m² – 3m + 2 = m² + 4m + 4 – m² – 3m + 2 = m + 6
Pt có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ m + 6 > 0 ⇔ m > -6
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
$\left \{ {{x_1+x_2=2(m+2)} \atop {x_1x_2=m^2+3m-2}} \right.$
Ta có: A = 2018 + 3$x_{1}$$x_{2}$ – $x_{1}^{2}$ – $x_{2}^{2}$
A = 2018 + 3$x_{1}$$x_{2}$ – ($x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$)
A = 2018 + 3$x_{1}$$x_{2}$ – [($x_{1}$ + $x_{2}$)² – 2$x_{1}$$x_{2}$]
A = 2018 + 5$x_{1}$$x_{2}$ – ($x_{1}$ + $x_{2}$)²
A = 2018 + 5(m² + 3m – 2) – 4(m + 2)²
A = 2018 + 5m² + 15m – 10 – 4m² – 16m – 16
A = m² – m + 1992
A = m² – m + $\frac{1}{4}$ + $\frac{7967}{4}$
A = (m – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7967}{4}$
Ta có: (m – $\frac{1}{2}$)² + $\frac{7967}{4}$ ≥ $\frac{7967}{4}$ với mọi m
⇒ A ≥ $\frac{7967}{4}$ với mọi m
Dấu “=” xảy ra ⇔ m – $\frac{1}{2}$ = 0 ⇔ m = $\frac{1}{2}$ (TM)
Vậy …
Chúc bn học tốt!
Giải thích các bước giải: