Cho phương trình : x^2 – 2(m – 3)x – 4m + 8 = 0 ( m là tham số).
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm .
b/ Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị nguyên của m để giá trị biểu thức A = [(x1/x2) + 1].[(x2/x1) +1] đạt giá trị nguyên.
Đáp án:
b) m=3
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
a)Xét:\Delta ‘ = {m^2} – 6m + 9 + 4m – 8\\
= {m^2} – 2m + 1\\
= {\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0\forall m\\
\to dpcm\\
b)DK:\Delta ‘ > 0\\
\to m – 1 \ne 0 \to m \ne 1\\
Có:A = \left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + 1} \right)\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + 1} \right)\\
= \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}.\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + 1\\
= \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + 2\\
= \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} + 2\\
= \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + 2\\
= \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + 2\\
= \dfrac{{{{\left( {2m – 6} \right)}^2} – 2\left( { – 4m + 8} \right)}}{{ – 4m + 8}} + 2\\
= \dfrac{{4{m^2} – 24m + 36 + 8m – 16 – 8m + 16}}{{8 – 4m}}\\
= \dfrac{{4{m^2} – 24m + 36}}{{4\left( {2 – m} \right)}}\\
= \dfrac{{4\left( {4 – 4m + {m^2}} \right) – 8m + 20}}{{4\left( {2 – m} \right)}}\\
= \dfrac{{4{{\left( {2 – m} \right)}^2} + 8\left( {2 – m} \right) + 4}}{{4\left( {2 – m} \right)}}\\
= \left( {2 – m} \right) + 2 + \dfrac{1}{{2 – m}}\\
A \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2 – m}} \in Z\\
\Leftrightarrow 2 – m \in U\left( 1 \right)\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2 – m = 1\\
2 – m = – 1
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( l \right)\\
m = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)