Cho phương trình: $x^{2}-2(m+4)x+m^{2}-8 =0$ (m là tham số) Tìm m để $x_{1}+ x_2-3x_1x_2$ có gía trị lớn nhất

Đáp án:

`m=1/ 3` 

Giải thích các bước giải:

`\qquad x^2-2(m+4)x+m^2-8=0`

`a=1;b=-2(m+4);c=m^2-8`

`=>b’=b/2=-(m+4)`

`∆’=b’^2-ac=[-(m+4)]^2-1.(m^2-8)`

`=m^2+8m+16-m^2+8=8m+24`

Để phương trình có hai nghiệm `x_1;x_2`

`<=>∆’\ge 0`

`<=>8m+24\ge 0`

`<=>8m\ge -24`

`<=>m\ge -3`

$\\$

Theo hệ thức Viet ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m+4)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-8\end{cases}$

Ta có:

`\qquad x_1+x_2-3x_1x_2`

`=2(m+4)-3.(m^2-8)`

`=2m+8-3m^2+24`

`=-3m^2+2m+32`

`=-3(m^2-2. m. 1/ 3 +1/ 9)+1/ 3 + 32`

`=-3(m-1/ 3)^2+{97}/3`

Với mọi `m\ge -3`

`=>(m-1/ 3)^2\ge 0`

`=>-3(m-1/ 2)^2\le 0`

`=>-3(m-1/ 3)^2+{97}/3\le {97}/3`

Dấu “=” xảy ra khi:

 `\qquad (m-1/ 3)^2 =0<=>m=1/ 3\ (thỏa\ đk)`

Vậy khi `m=1/ 3` thì `x_1+x_2-3x_1x_2` có $GTLN$ là `{97}/3`