cho phương trình $x^{2}$ – (2m -1)x -2m -1 =0 với m là tham số
tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn hệ thức $x1^{3}$ – $x2^{3}$ + 2($x1^{2}$ – $x2^{2}$ ) = 0
cho phương trình $x^{2}$ – (2m -1)x -2m -1 =0 với m là tham số
tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mãn hệ thức $x1^{3}$ – $x2^{3}$ + 2($x1^{2}$ – $x2^{2}$ ) = 0
Đáp án:
$m=0$ hoặc $m=-\dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
Δ= $[-(2m-1)]^2+ 4.( 2m+1)=4m^2+4m+5=(2m+1)^2+4>0 ∀m$
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m.
Theo hệ thức Viet ta có:
$\left \{ {{x_1+x_2=2m-1} \atop {x_1.x_2=-2m-1}} \right.$
$(x_1-x_2)(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2)+2.(x_1-x_2)(x_1+x_2)=0$
$(x_1-x_2)[x_1^2+x_1.x_2+x_2^2+2(x_1+x_2)]=0$
Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên $x_1$ khác $x_2$
⇔$ x_1^2+x_1.x_2+x_2^2+2(x_1+x_2)=0$
⇔$(x_1+x_2)^2-x_1.x_2+ 2.(x_1+x_2)=0 $
⇔$(2m-1)^2+2m+1+2.(2m-1)=0 $
⇔$4m^2+2m=0$
⇔$2m(2m+1)=0$
⇔\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!!
Đáp án:
`m in {- 1/2; 0}`
Giải thích các bước giải:
Phương trình $(*)$:
$x^2 – (2m – 1)x – 2m – 1 = 0$
`<=> x^2 – (2m – 1)x – (2m + 1) = 0`
`\Delta = [- (2m – 1)]^2 – 4.1.[- (2m + 1)]`
`= 4m^2 – 4m + 1 + 8m + 4`
`= 4m^2 + 4m + 5`
`= (2m + 1)^2 + 4 > 0 \forall m in R`
`\to` Phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi `m in R`.
Theo hệ thức Vi – ét:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = – \dfrac{b}{a} = 2m – 1\\x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = – 2m – 1\\\end{cases}$
Ta có:
$x_1^3 – x_2^3 + 2(x_1^2 – x_2^2) = 0$ $(1)$
`<=> (x_1 – x_2)(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2) + 2(x_1 + x_2)(x_1 – x_2) = 0`
`<=> (x_1 – x_2)[x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 + 2(x_1 + x_2)] = 0`
`<=> (x_1 – x_2)[(x_1 + x_2)^2 – x_1x_2 + 2(x_1 + x_2)] = 0`
TH1:
$x_1 – x_2 = 0$
`<=> x_1 = x_2`
`\to` Loại vì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt.
TH2:
$(x_1 + x_2)^2 – x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 0$
`<=> (2m – 1)^2 – (- 2m – 1) + 2(2m – 1) = 0`
`<=> 4m^2 – 4m + 1 + 2m + 1 + 4m – 2 = 0`
`<=> 4m^2 + 2m = 0`
`<=> 2m(2m + 1) = 0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy `m in {- 1/2; 0}` thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $(1).$