Cho phương trình x^2 – (2m-1)x + m^2 – 3m + 1 =0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x1, x2 sao cho P= x1(x2+2) + x2(x1+2)

Đáp án:

\(Min =  – \dfrac{1}{2}\) 

Giải thích các bước giải:

Để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to 4{m^2} – 4m + 1 – 4\left( {{m^2} – 3m + 1} \right) \ge 0\\
 \to 8m – 3 \ge 0\\
 \to m \ge \dfrac{3}{8}\\
Có:{x_1}\left( {{x_2} + 2} \right) + {x_2}\left( {{x_1} + 2} \right)\\
 = {x_1}{x_2} + 2{x_1} + {x_1}{x_2} + 2{x_2}\\
 = 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
 = 2\left( {{m^2} – 3m + 1} \right) + 2\left( {2m – 1} \right)\\
 = 2{m^2} – 2m\\
 = 2\left( {{m^2} – m} \right)\\
 = 2\left( {{m^2} – 2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{4}} \right)\\
 = 2{\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{1}{2}\\
Do:2{\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m\\
 \to 2{\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{1}{2} \ge  – \dfrac{1}{2}\\
 \to Min =  – \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\left( {TM} \right)
\end{array}\)