Cho phương trình: `x^2-2mx+2m-1=0(1)`
Tìm m để phương trình có`2`nghiệm `x_1,x_1` thỏa mãn: `(x_1^2-2mx_1+3)(x_2^2-2mx_2-2)=24`
Cho phương trình: `x^2-2mx+2m-1=0(1)`
Tìm m để phương trình có`2`nghiệm `x_1,x_1` thỏa mãn: `(x_1^2-2mx_1+3)(x_2^2-2mx_2-2)=24`
$ x^2 -2mx +2m -1 = 0$
$ \Delta’ = m^2 – (2m -1) = m^2 -2m +1 = (m-1)^2$
Vì $\Delta’ = (m-1)^2 \ge 0$ nên PT có nghiệm với mọi $m$
$ x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta}}{a} = \dfrac{m + |m-1|}{1} = m + |m-1|$
$ x_2 = \dfrac{-b’ – \sqrt{\Delta}}{a} = \dfrac{m – |m-1|}{1} = m – |m-1|$
Ta có
$ (x_1^2 – 2mx_1 +3)(x_2^2 – 2mx_2 -2) = 24$
$+)$
$ x_1^2 -2mx_1 +3 = (x_1^2 -2mx + m^2) + 3 – m^2 = ( x_1 – m)^2 +3 – m^2 = ( m + |m-1| – m)^2 +3 – m^2$
$ = |m-1|^2 +3 – m^2 = m^2- 2m +1 + 3 – m^2 = -2m +4$ (*)
$+)$
$ x_2^2 -2mx_2 -2 = (x_2 – m)^2 – m^2 -2 = ( m – |m-1| – m)^2 -m^2 -2 = (-|m-1|)^2 – m^2 -2$
$ = m^2 -2m +1 – m^2 -2= -2m -1$ (**)
Từ (*);(**) suy ra $ (-2m+4)(-2m-1) = 24$
$\to (2m-4)(2m+1) = 24$
$\to 4m^2 -6m -4 -24 = 0 \to 4m^2 -6m -28 = 0$
$ \to 2m^2 -3m +14 = 0 \to ( 2m-7)(m+2) = 0$
$\to$ \(\left[ \begin{array}{l}2m-7=0\\\\m+2=0\end{array} \right.\) $\to$ \(\left[ \begin{array}{l}2m=7\\\\m=-2\end{array} \right.\) $\to$ \(\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{7}{2}\\\\m=-2\end{array} \right.\)
Vậy $ m \in \{ -2 ; \dfrac{7}{2} \}$
$x^2-2mx+2m-1=0$
$\Delta’=(-m)^2-(2m-1)$
$=m^2-2m+1$
$=(m-1)^2\geqslant 0\ ∀m$
$\to$ Phương trình luôn có hai nghiệm.
Vì $x_1;\ x_2$ là nghiệm của pt $(1)$
$\to \begin{cases}x_1^2-2mx_1+2m-1=0\\x_2^2-2mx_2+2m-1=0\end{cases}$
$\to \begin{cases}x_1^2-2mx_1+3=-2m+4\\x_2^2-2mx_2-2=-2m-1\end{cases}$
Thay vào giả thiết, ta có:
$(-2m+4)(-2m-1)=24$
$⇔4m^2+2m-8m-4=24$
$⇔4m^2-6m-28=0$
$⇔2m^2-3m-14=0$
$\Delta=(-3)^2-4.2.(-14)=121;\ \sqrt{\Delta}=11$
$\to$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$m_1=\dfrac{3-11}{2.2}=-2$
$m_2=\dfrac{3+11}{2.2}=\dfrac72$
Vậy $m=-2$ hoặc $m=\dfrac72$