Cho phương trình $x^{2}$ -2mx+m-3=0 gọi $x_{1}$, $x_{2}$ à nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x2^3+2m$x_{1}$+2$x_{1}$.$x_{2}$ +7m+15 đạt giá trị nhỏ nhất ?
Cho phương trình $x^{2}$ -2mx+m-3=0 gọi $x_{1}$, $x_{2}$ à nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức T = x2^3+2m$x_{1}$+2$x_{1}$.$x_{2}$ +7m+15 đạt giá trị nhỏ nhất ?
Đáp án:
giá trị nhỏ nhất của `T = 2` khi `m =(-1) `
Giải thích các bước giải:
`x^2-2mx+m-3=0`
`Δ’=m^2-m+3`
Để phương trình có `2` nghiệm `x1,x2` thì `Δ≥ 0`
`=> m^2-m+3 >0`
Theo Vi-et ta có:
\(\left[ \begin{array}{l}x1+x2=2m\\x1x2=m-3\end{array} \right.\)
Ta có :
`T=x2^3+2mx1+2x1x2+7m+15`
`= x2^3+(x1+x2)x1 +2x1x2+7m +15`
`=x2^3+x1^3+x1x2+2x1x2+7m+15`
`=(x1+x2)^3-2x1x2+x1x2+2x1x2+7m+15`
`= (x1+x2)^3+x1x2+7m+15`
`= 4m^3+m-3+7m+15`
`=4m^3+8m+12`
`= m^3+2m+3`
`=m^3+2m+1+2`
`=(m+1)^3+2`
Để `T` đạt giá trị nhỏ nhất `= 2` thì:
`m+1=0`
` m=0-1`
`m=(-1)`
Vậy giá trị nhỏ nhất của `T = 2` khi `m =(-1) `