Cho phương trình: $x^{2}$ -(3m-1)x+2($m^{2}$-1)=0 (m là tham số). Gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x1 ²+x2 ²
Cho phương trình: $x^{2}$ -(3m-1)x+2($m^{2}$-1)=0 (m là tham số). Gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=x1 ²+x2 ²
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
pt có 2 nghiệm phân biệt ⇔Δ>0⇔$(3m-1)^{2}$ $-4.2(m^{2}$-1)=$m^{2}-6m+9$>0⇔$m\neq3$
theo định lí Viet ta có: $\left \{ {{x1+x2=3m-1} \atop {x1.x2=2(m^{2}-1)}} \right.$
ta có: a=$x1^{2}$ +$x2^{2}$
= $(x1+x2)^{2}-2x1x2$
=$(3m-1)^{2}$ $-2.2(m^{2}-1)$=$5m^{2}-6m+5$=$5(m-\frac{3}{5})^{2}+\frac{16}{5}$(1)
để a đạt gtnn thì (1) đạt gtnn
mà $5(m-\frac{3}{5})^{2}$ $\geq$ 0 ⇒ $5(m-\frac{3}{5})^{2}+\frac{16}{5}$$\geq$ $\frac{16}{5}$
⇒Amin=$\frac{16}{5}$ khi m=$\frac{3}{5}$