Cho phương trình $x^2-(3m-2)x+2m^2-m-5=0$ (1) (x là ẩn số;m là tham số)
a)Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b)Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình trên.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa $(x_1+x_2)(x_1-x_2)=x_1(2x_1-x_2)-13$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình: ${x^2} – \left( {3m – 2} \right)x + 2{m^2} – m – 5 = 0$
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta = {\left( { – \left( {3m – 2} \right)} \right)^2} – 4.1.\left( {2{m^2} – m – 5} \right)\\
= {m^2} – 2m + 24\\
= {\left( {m – 1} \right)^2} + 23 > 0,\forall m
\end{array}$
$\to $ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ với mọi $m$
b) Ta có:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3m – 2\\
{x_1}{x_2} = 2{m^2} – m – 5
\end{array} \right.$
Để $\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = {x_1}\left( {2{x_1} – {x_2}} \right) – 13$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x_1^2 – x_2^2 = 2x_1^2 – {x_1}{x_2} – 13\\
\Leftrightarrow x_1^2 – {x_1}{x_2} + x_2^2 – 13 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 3{x_1}{x_2} – 13 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {3m – 2} \right)^2} – 3\left( {2{m^2} – m – 5} \right) – 13 = 0\\
\Leftrightarrow 3{m^2} – 9m + 6 = 0\\
\Leftrightarrow {m^2} – 3m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m – 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m \in \left\{ {1;2} \right\}$ thỏa mãn.