cho phương trình:$x^2+(a-2b-2).x+(a-2b-7)=0$ trong đó $a \geq 3$ và $b \leq 1$.tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm phương trình có thể đạt được. giải giúp

Ta có : $Δ=b^2-4ac$

$ = (a-2b-2)^2-4(a-2b-7)$

$ = (a-2b-2)^2-4.(a-2b-2-5)$

$ = (a-2b-2)^2-4.(a-2b-2)+20$

$ = (a-2b-2)^2-2.(a-2b-2).2+4+16$

$ = (a-2b-4)^2+16>0$

Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$

Theo định lý Vi-et ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2b+2-a\\x_{1}.x_{2}=a-2b-7\end{array} \right.$

Do $a≥3,b≤1$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2b+2-a≤1\\a-2b-7≥-6\end{array} \right.$

Do đó : $\left\{ \begin{array}{l}x_{1}+x_{2}≤1\\x_{1}.x_{2}≥-6\end{array} \right.$

$⇔\left\{ \begin{array}{l}x_{1}≤1-x_{2}\\x_{1}.x_{2}≥-6\end{array} \right.$

$\to x_{2}.(1-x_{2}) ≥ -6$

$⇔ (x_{2}-3).(x_{2}+2) ≤ 0 $

$⇔ -2≤x_{2}≤3$

Vai trò $x_{1},x_{2}$ như nhau nên giá trị lớn nhất mà nghiệm phương trình có thể đạt được là $3$.