cho phương trình $x^{2}$-(m+1)x+2m-2=0, m là tham số a) chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì phương trình luôn có nghiệm. b) tìm tất cả

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} – 2m + 2\\
 = {m^2} + 2m + 1 – 2m + 2\\
 = {m^2} + 3 > 0
\end{array}$

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) 

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m + 1\\
{x_1}{x_2} = 2m – 2
\end{array} \right.\\
Khi:{x_1};{x_2} > 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 > 0\\
2m – 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\\
Khi:\sqrt {{x_1} + 2}  – \sqrt {{x_2} + 2}  = 1\\
 \Leftrightarrow {x_1} + 2 + {x_2} + 2 – 2\sqrt {{x_1} + 2} .\sqrt {{x_2} + 2}  = 1\\
 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 4 – 2\sqrt {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}  = 1\\
 \Leftrightarrow m + 1 + 4 – 2\sqrt {2m – 2 + 2\left( {m + 1} \right) + 4}  = 1\\
 \Leftrightarrow m + 4 – 2\sqrt {4m + 4}  = 0\\
 \Leftrightarrow 4\sqrt {m + 1}  = m + 4\\
 \Leftrightarrow 16\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 8m + 16\\
 \Leftrightarrow {m^2} – 8m = 0\\
 \Leftrightarrow m\left( {m – 8} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m = 8\left( {do:m > 1} \right)\\
Vậy\,m = 8\\
c)Do:x_1^2 – \left( {m + 1} \right).{x_1} + 2m – 2 = 0\\
 \Leftrightarrow x_1^2 = \left( {m + 1} \right){x_1} – 2m + 2\\
Khi:x_1^2 – \left( {m + 1} \right){x_2} + m – 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x_1} – 2m + 2 – \left( {m + 1} \right){x_2} + m – 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) – m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}}  – m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} – 4\left( {2m – 2} \right)}  – m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sqrt {{m^2} – 6m + 9}  – m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).\sqrt {{{\left( {m – 3} \right)}^2}}  – m = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {m + 1} \right).\left( {m – 3} \right) – m = 0\left( {khi:m \ge 3} \right)\\
 – \left( {m + 1} \right)\left( {m – 3} \right) – m = 0\left( {khi:m < 3} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{m^2} – 2m – 3 – m = 0\left( {m \ge 3} \right)\\
{m^2} – m + 3 – 3 = 0\left( {m < 3} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\\
m = 0\\
m = 1
\end{array} \right.\\
Vậy\,m \in \left\{ {0;1;\dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \right\}
\end{array}$