Cho phương trình: $x^2-(m-2)x-3=0$($m$ là tham số). Chứng mình rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với mọi $m$. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:$\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2$.
Cho phương trình: $x^2-(m-2)x-3=0$($m$ là tham số). Chứng mình rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ với mọi $m$. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức:$\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2$.
Đáp án:
`m=2`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(m-2)x-3=0`
Ta có:
`∆=b^2-4ac=[-(m-2)]^2-4.1.(-3)`
`∆=(m-2)^2+12\ge 12>0` với mọi $m$
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi `m`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-3\end{cases}$
Để `\sqrt{x_1^2+2018}-x_1=\sqrt{x_2^2+2018}+x_2`
`<=>\sqrt{x_1^2+2018}-\sqrt{x_2^2+2018}=x_1+x_2`
`<=>(\sqrt{x_1^2+2018}-\sqrt{x_2^2+2018})^2=(x_1+x_2)^2`
`<=>x_1^2+2018-2\sqrt{x_1^2+2018}. \sqrt{x_2^2+2018}+x_2^2+2018=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2`
`<=>4036-2\sqrt{(x_1^2+2018)(x_2^2+2018)}=2x_1x_2`
`<=>2\sqrt{(x_1^2+2018)(x_2^2+2018)}=4036-2x_1x_2`
`<=>\sqrt{(x_1^2+2018)(x_2^2+2018)}=2018-x_1x_2` (*)
Vì `2018-x_1x_2=2018-(-3)=2021>0`
(*)`<=>(x_1^2+2018)(x_2^2+2018)=(2018-x_1x_2)^2`
`<=>(x_1x_2)^2+2018.(x_1^2+x_2^2)+2018^2=2018^2-4036x_1x_2+(x_1x_2)^2`
`<=>2018(x_1^2+x_2^2)+4036x_1x_2=0`
`<=>x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=0`
`<=>(x_1+x_2)^2=0`
`<=>(m-2)^2=0`
`<=>m=2`
Vậy `m=2` thỏa đề bài