cho phương trình x^2-(m-2)x-3=0 tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa $\sqrt[]{x^2_1+2019}-x_1=\sqrt[]{x^2_2+2019}+x_2$ (1)

Đáp án:

$m=2$

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thì:

   $Δ>0$

$⇔ (m-2)^2-4.(-3)>0$

$⇔ (m-2)^2+12>0$ $(∀m)$

Phương trình $(1)$ trở thành:

`\sqrt[x_1^2+2019]-\sqrt[x_2^2+2019]=x_1+x_2`

`⇔ x_1^2+2019+x_2^2+2019-2\sqrt[(x_1^2+2019)(x_2^2+2019)]=(x_1+x_2)^2`

`⇔ 2019-sqrt[x_1^2x_2^2+2019^2+2019(x_1^2+x_2^2)]=x_1x_2`

`⇔ (2019-x_1x_2)^2=(x_1x_2)^2+2019^2+2019(x_1^2+x_2^2)`

`⇔ 2x_1x_2+x_1^2+x_2^2=0` $(2)$

Theo Vi ét ta có:

$x_1x_2=-3$

$x_1+x_2=m-2$

$\to$ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m-2)^2+6$

Theo vào $(2)$ ta được:

$2.(-3)+(m-2)^2+6=0$

$⇔$ $(m-2)^2=0$

$⇔$ $m=2$

Vậy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán.