cho phương trình x^2-(m-2)x-3=0
tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa $\sqrt[]{x^2_1+2019}-x_1=\sqrt[]{x^2_2+2019}+x_2$ (1)
cho phương trình x^2-(m-2)x-3=0
tìm m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thỏa $\sqrt[]{x^2_1+2019}-x_1=\sqrt[]{x^2_2+2019}+x_2$ (1)
Vì a.c=1.(-3)<0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi ét ta được
$x_{1}$ + $x_{2}$ = m-2
$x_{1}$$x_{2}$ = -3
Ta có
$\sqrt[]{x_{1} ^{2} +2019}$ – $x_{1}$ = $\sqrt[]{x_{2} ^{2} +2019}$ + $x_{2}$
⇔ $\sqrt[]{x_{1} ^{2} +2019}$ – $\sqrt[]{x_{2} ^{2} +2019}$= $x_{2}$ + $x_{1}$
⇔$x_{1}^{2}$ +2019 +$x_{2}^{2}$ +2019 + 2$\sqrt[]{(x_{1} ^{2} +2019).(x_{2} ^{2} +2019)}$ = (m-2)²
Đợi mình chút h mình bận rồi chút mình giải tiếp
Đáp án:
$m=2$
Giải thích các bước giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt thì:
$Δ>0$
$⇔ (m-2)^2-4.(-3)>0$
$⇔ (m-2)^2+12>0$ $(∀m)$
Phương trình $(1)$ trở thành:
`\sqrt[x_1^2+2019]-\sqrt[x_2^2+2019]=x_1+x_2`
`⇔ x_1^2+2019+x_2^2+2019-2\sqrt[(x_1^2+2019)(x_2^2+2019)]=(x_1+x_2)^2`
`⇔ 2019-sqrt[x_1^2x_2^2+2019^2+2019(x_1^2+x_2^2)]=x_1x_2`
`⇔ (2019-x_1x_2)^2=(x_1x_2)^2+2019^2+2019(x_1^2+x_2^2)`
`⇔ 2x_1x_2+x_1^2+x_2^2=0` $(2)$
Theo Vi ét ta có:
$x_1x_2=-3$
$x_1+x_2=m-2$
$\to$ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m-2)^2+6$
Theo vào $(2)$ ta được:
$2.(-3)+(m-2)^2+6=0$
$⇔$ $(m-2)^2=0$
$⇔$ $m=2$
Vậy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán.