Cho phương trình: $ {{x}^{2}}+(m-2)x-\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 $ ( $ m $ là tham số). Tìm các giá trị nguyên của $ m $ để phương trình có 2 nghiệm

0 bình luận về “Cho phương trình: $ {{x}^{2}}+(m-2)x-\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 $ ( $ m $ là tham số). Tìm các giá trị nguyên của $ m $ để phương trình có 2 nghiệm”

1. Đáp án:

    CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!

   Giải thích các bước giải:

       $m ∈ Z$

   Phương trình:

       $x² + (m – 2)x – (m² – 4) = 0$    $(1)$

   $[a = 1 ; b = m – 2 ; c = – (m² – 4)]$

   $Δ = b² – 4ac = (m – 2)² – 4.[- (m² – 4)]$

        $= (m – 2)² + 4.(m – 2).(m + 2)$

        $= (m – 2).[(m – 2) + 4.(m + 2)]$

        $= (m – 2).(m – 2 + 4m + 8)$

        $= (m – 2).(5m + 6)$

   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

       $Δ > 0$

   $⇔ (m – 2).(5m + 6) > 0$

   $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < -\frac{6}{5}\end{array} \right.\)

   Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình $(1)$:

         $\left \{ {{x_1 + x_2 = – \frac{b}{a} = – (m – 2)} \atop {x_1.x_2 = \frac{c}{a} = – (m² – 4)}} \right.$

   Ta có:

         $|x_1 – x_2| = 4$

   $⇔ |x_1 – x_2|² = 4²$

   $⇔ x_1² – 2x_1x_2 + x_2² = 16$

   $⇔ (x_1² + 2x_1x_2 + x_2²) – 2x_1x_2 – 2x_1x_2 = 16$

   $⇔ (x_1 + x_2)² – 4x_1x_2 – 16 = 0$

   $⇔ [- (m – 2)]² – 4[- (m² – 4)] – 16 = 0$

   $⇔ m² – 4m + 4 + 4m² – 16 – 16 = 0$

   $⇔ 5m² – 4m – 28 = 0$

   $⇔ (5m² + 10m) – (14m + 28) = 0$

   $⇔ (m + 2).(5m – 14) = 0$

   $⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}m = – 2 (T/m)\\m = \frac{14}{5} (loại)\end{array} \right.\) 

   Vậy `m = – 2` thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $|x_1 – x_2| = 4.$

   Bình luận

2. Đáp án:

    `m=-2`

   Giải thích các bước giải:

   Phương trình có: $ \Delta ={{(m-2)}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-4 \right)=(m-2)(5m+6) $

   Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $ \Delta > 0\Leftrightarrow (m-2)(5m+6) > 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m > 2 \\ & m < -\dfrac{6}{5} \end{array} \right. $ .

   Hệ thức Vi-ét $ \left\{ \begin{array}{l} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=4-{{m}^{2}} \end{array} \right. $

   $ \begin{array}{l} & \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4 \\ & \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}=16 \\ & \Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=16 \\ & \Leftrightarrow {{(2-m)}^{2}}-4.(4-{{m}^{2}})=16 \\ & \Leftrightarrow 4-4m+{{m}^{2}}-16+4{{m}^{2}}-16=0 \\ & \Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-4m-28=0 \end{array} $

   $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} & m=\dfrac{14}{5} \\ & m=-2 \end{array} \right. $ (thỏa mãn).

   Vậy `m \in -2` là giá trị cần tìm.

   Bình luận