Cho phương trình $x^{2}$ – (m-2)x + m – 3 = 0
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa: $x1^{2}$ (x2 -3) + $x2^{2}$ (x1-3) = -31
Cho phương trình $x^{2}$ – (m-2)x + m – 3 = 0 a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa: $x1^{2}$ (
By Aubrey
Đáp án:
`m\in\{-\frac{1}{2};7\}`
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}x^2-(m-2)x+m-3=0\\a,Δ=(m-2)^2-4.(m-3)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=(m-4)^2\ge 0\end{array}$
$⇒$ Phương trình luôn có nghiệm $∀m\in\mathbb R$
$b,$ Áp dụng định lí Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1.x_2=m-3\end{cases}$
$\begin{array}{l}x_1^2(x_2-3)+x_2^2(x_1-3)=-31\\⇔x_1^2.x_2+x_2^2.x_1-3x_1^2-3x_2^2=-31\\⇔x_1x_2(x_1+x_2)-3(x_1^2+x_2^2)=-31\\⇔x_1x_2(x_1+x_2)-3[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]=-31\\⇔x_1x_2(x_1+x_2)-3(x_1+x_2)^2+6x_1x_2=-31\\⇔(m-3)(m-2)-3(m-2)^2+6(m-3)=-31\\⇔m^2-5m+6-3m^2+12m-12+6m-18=-31\\⇔2m^2-13m-7=0\\⇔(2m+1)(m-7)=0\\⇔\left[ \begin{array}{l}m=-\dfrac{1}{2}\\m=7\end{array} \right.\end{array}$
Vậy `m\in\{-\frac{1}{2};7\}`.
Đáp án:a) Xét delta=(m-2)^2-4(m-3)=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16=(m-4)^2>=0 với mọi m
=> pt luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Áp dụng hệ thức vi ét có: x1.x2=m-3; x1+x2=m-2.
để x1^2.(x2-3)+x2^2.(x1-3)=-31
<=> x1^2.×2-3.×1^2+x1^2×1-3×2^2=-31
<=>x1.x2.(x1+x2)-3(x1^2+x2^2)=-31
<=>(m-3)(m-2)-3.(x1^2+x2^2+2.x1.x2-2.x1.x2)=-31
<=>(m^2-3m-2m+6)-3.[(x1+x2)^2-2×1.x2]=-31
<=>m^2-5m+6-3[(m-2)^2-2(m-3)]=-31
<=>m^2-5m+6-3(m^2-4m+4-2m+6)=-31
<=>m^2-5m+6-3(m^2-6m+10)=-31
<=>-2m^2+13m+7=0
<=>m=-1/2; m=7
<=>
Giải thích các bước giải: