Cho phương trình x ² – 2( m+ 3)x -2m ²+ 3m+ 2= 0, với m là tham số. tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của hình

Đáp án:

 $m\in\varnothing$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 – 2(m+3)x – 2m^2 + 3m +2= 0$

Phương trình có nghiệm 

$\Leftrightarrow \Delta’ \geqslant 0$

$\Leftrightarrow (m+3)^2 – (-2m^2 + 3m +2) \geqslant 0$

$\Leftrightarrow 3m^2 + 3m + 7\geqslant 0$ (luôn đúng)

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m+3)\\x_1x_2 = – 2m^2 + 3m +2\end{cases}$

$x_1;\ x_2$ là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1+x_2>0\\x_1x_2 > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}2(m+3)>0\\-2m^2 +3m +2 > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow -\dfrac12 < m < 2\qquad (1)$

$Ycbt \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 10^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 – 2x_1x_2- 100= 0$

$\Leftrightarrow 4(m+3)^2 – 2(-2m^2 + 3m +2)- 100 = 0$

$\Leftrightarrow 8m^2 + 18m – 68 = 0$

$\Leftrightarrow (m-2)(4m+17)= 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 2\\m = -\dfrac{17}{4}\end{array}\right.\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow m \in \varnothing$

Vậy không có giá trị $m$