cho phương trình $x^{2}$ – (m-3)x+m-4=0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa $x1^{2}$ + $x2^{2}$ + 5×1 + 5×2= 30
cho phương trình $x^{2}$ – (m-3)x+m-4=0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa $x1^{2}$ + $x2^{2}$ + 5×1 + 5×2= 30
Đáp án:
b) \(\left[ \begin{array}{l}
m = 7\\
m = – 4
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
a) Xét:
\(\begin{array}{l}
\Delta ‘ \ge 0\\
\to {m^2} – 6m + 9 – 4\left( {m – 4} \right) \ge 0\\
\to {m^2} – 6m + 9 – 4m + 16 \ge 0\\
\to {m^2} – 10m + 25 \ge 0\\
\to {\left( {m – 5} \right)^2} \ge 0\left( {ld} \right)\forall m \in R
\end{array}\)
⇒ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Có:
\(\begin{array}{l}
{x_1}^2 + {x_2}^2 + 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 30\\
\to \left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) – 2{x_1}{x_2} + 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 30\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} + 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 30\\
\to {\left( {m – 3} \right)^2} – 2\left( {m – 4} \right) + 5\left( {m – 3} \right) = 30\\
\to {m^2} – 6m + 9 – 2m + 8 + 5m – 15 = 30\\
\to {m^2} – 3m – 28 = 0\\
\to \left( {m – 7} \right)\left( {m + 4} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 7\\
m = – 4
\end{array} \right.
\end{array}\)
`x²-(m-3)x+m-4=0`
a, Ta có:
`∆=(-(m-3))²-4(m-4)`
`= m²-6m+9-4m+16`
`=m²-10m+25`
`= (m-5)²≥0`
Vậy pt luôn có nghiệm với mọi `m`.
b, Áp dụng hệ thức Viet ta có:
$\left \{ {{x_{1}.x_{2}=m-4} \atop {x_{1}+x_{2} =m-3}} \right.$ (1)
Ta có:
`x_{1}² + x_{2}² +5x_{1} +5x_{2}=30`
`<=> x_{1}² +2x_{1}x_{2}+x_{2}² +5x_{1}+5x_{2}-2x_{1}x_{2}=30`
`<=> (x_{1}+x_{2})² +5 (x_{1}+x_{2}) – 2x_{1}x_{2}=30` (2)
Thay (1) vào (2) ta đc:
`(m-3)²+5(m-3)-2(m-4)=30`
`<=> m²-6m+9+5m-15-2m+8=30`
`<=> m²-3m-28=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=7\\m=-4\end{array} \right.\)
Vậy với `m=7` hoặc `m=-4` thì pt có 2 nghiệm TM.