Cho phương trình $x^2-(m-4)x-m+3=0$ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_1^5+x_2^5=31$

Ta có: $a – b + c = 1 – \left[ { – \left( {m – 4} \right)} \right] – m + 3 = 1 + m – 4 – m + 3 = 0$

Phương trình luôn có hai  nghiệm là $x_1=-1$ và ${x_2} = -\dfrac{{ c}}{a} = m – 3$ (do $a\ne 0$)

Vì vai trò $x_1;x_2$ là như nhau nên ta có thể cho $x_1=-1$:

Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} x_1^5 + x_2^5 = 31\\  \Leftrightarrow  – 1 + {\left( {m – 3} \right)^5} = 31\\  \Leftrightarrow {\left( {m – 3} \right)^5} = 32\\  \Leftrightarrow {\left( {m – 3} \right)^5} = {2^5}\\  \Leftrightarrow m – 3 = 2 \Leftrightarrow m = 5 \end{array}$

Vậy $m=5$ thỏa yêu cầu bài toán