Cho phương trình 2×2 – (m + 1)x + 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 4.
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn
x1 + x1x2 + x2 = 2019 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x1^2 + x2^2 – 16×1 – 16×2
(trong đó x1 và x2 là nghiệm của phương trình (1))
Đáp án: a.$x\in\{1,\dfrac32\}$
b.$m\le \:-2\sqrt{6}-1\quad \mathrm{hoặc}\quad \:m\ge \:2\sqrt{6}-1$
c.$m=15$
Giải thích các bước giải:
a.Khi $m=4$ khi đó :
$2x^2-(4+1)x+3=0$
$\to 2x^2-5x+3=0$
$\to (2x^2-2x)-(3x-3)=0$
$\to 2x(x-1)-3(x-1)=0$
$\to (2x-3)(x-1)=0$
$\to x\in\{1,\dfrac32\}$
b.Để phương trình có $2$ nghiệm
$\to \Delta=(m+1)^2-4\cdot 2\cdot 3\ge 0$
$\to (m+1)^2-24\ge 0$
$\to (m+1)^2\ge 24$
$\to m\le \:-2\sqrt{6}-1\quad \mathrm{hoặc}\quad \:m\ge \:2\sqrt{6}-1$
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac32\end{cases}$
Lại có $ x_1+x_1x_2+x_2=2019$
$\to (x_1+x_2)+x_1x_2=2019$
$\to \dfrac{m+1}{2}+\dfrac32=2019$
$\to m=4034$
c.Theo câu b
$\to M=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2-16(x_1+x_2)$
$\to M=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-16(x_1+x_2)$
$\to M=(\dfrac{m+1}{2})^2-2\cdot \dfrac32-16\cdot \dfrac{m+1}{2}$
$\to M=4(m^2-30m-43)$
$\to M=4(\left(m-15\right)^2-268)$
$\to M\ge 4\cdot (0-268)$
$\to M\ge -1072$
Dấu = xảy ra khi $m=15$