Cho phương trình 2cos^2 x + 5sin x.cos x + 6sin^2 x – m – 1 = 0 (1) số giá trị m thuộc Z để phương trình (1) có nghiệm là?

Đáp án:

$7 \quad m$

Giải thích các bước giải:

$2\cos^2x + 5\sin x\cos x + 6\sin^2x – m – 1 = 0 \qquad (1)$

+) $\cos x = 0 \Rightarrow \sin^2x = 1$

$\Rightarrow m + 1 = 6$

$\Rightarrow m = 5$

+) $\cos x \ne 0$

Chia hai vế của phương trình cho $\cos^2x$ ta được:

$6\tan^2x + 5\tan x + 2 – (m+1).\dfrac{1}{\cos^2x} = 0$

$\Leftrightarrow 6\tan^2x + 5\tan x + 2 – (m+1)(\tan^2x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (5 – m)\tan^2x + 5\tan x + 1 – m =0 \qquad (*)$

Phương trình $(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow Delta_{(*)} \geq 0$

$\Leftrightarrow 5^2 – 4(5 – m)(1 – m) \geq 0$

$\Leftrightarrow -4m^2 + 24m +5 \geq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{6 – \sqrt{41}}{2} \leq m \leq \dfrac{6 + \sqrt{41}}{2}$

Do $m \in \Bbb Z$

nên $m = \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$

Vậy có $7$ giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm