Cho phương trình x²-2mx+2m-2=0 (1) , ( m là tham số )
a.Chứng minh phương trình ( 1) luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m
b. Với các giá trị nào của tham số m thì x1²+ x2²=12
Cho phương trình x²-2mx+2m-2=0 (1) , ( m là tham số )
a.Chứng minh phương trình ( 1) luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m
b. Với các giá trị nào của tham số m thì x1²+ x2²=12
$x²-2mx+2m-2=0$ (1)
( $a = 1$; $b = -2m$; $b’=-m$; $ c= 2m – 2$ )
a) $\Delta’ = (-m)^2 – 1.(2m-2)$
$= m^2 – 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1 > 0 \forall m \in \mathbb{R}$
$\to$ Phương trình luôn có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ với mọi giá trị của m
b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
$\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 2m \\x_{1}.x_{2} = 2m – 2\end{cases}$
Để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 2x_{1}.x_{2} = 12$
$\to (2m)^2 – 2.(2m-2) = 12$
$\Leftrightarrow 4m^2 -4m + 4 = 12$
$\Leftrightarrow m^2 – m -2 = 0$
$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m_1 = 2 \\m_2=-1\end{array} \right.\)
Vậy với $m_1 = 2$ hoặc $ m_2=-1$ thì $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2-2mx+2m-2=0`
`a)` `Delta=(-2m)^2-4.1.(2m-2)`
`=4m^2-8m+8`
`=4m^2-8m+4+4`
`=(4m^2-8m+4)+4`
`=(2m-2)^2+4\geq4>0∀m∈RR`
Vậy phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` với mọi giá trị của `m.`
`b)` Theo phần `a,` phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
`+)` Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-2\end{cases}$
`+)` Lại có: `x_1^2+x_2^2=12`
`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=12`
`<=>(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=12`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12`
`=>(2m)^2-2(2m-2)=12`
`<=>4m^2-4m+4-12=0`
`<=>4m^2-4m-8=0`
`<=>4(m^2-m-2)=0`
`<=>m^2-m-2=0`
`<=>m^2-2m+m-2=0`
`<=>m(m-2)+(m-2)=0`
`<=>(m-2)(m+1)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-2=0\\m+1=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=2\\m=-1\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=-1;m=2` thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn `x_1^2+x_2^2=12`