Cho phương trình: x² – 2mx – m² – 1 = 0 (m là tham số). a) Tìm biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m. b) Tìm giá tr

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a){x^2} – 2mx – {m^2} – 1 = 0\\
\Delta ‘ = {m^2} – \left( { – {m^2} – 1} \right)\\
 = {m^2} + {m^2} + 1\\
 = 2{m^2} + 1 > 0
\end{array}$

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} =  – {m^2} – 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\\
{x_1}{x_2} =  – {m^2} – 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} =  – {\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2}} \right)^2} – 1\\
 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \dfrac{1}{4}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1 = 0\\
Vậy\,{x_1}{x_2} + \dfrac{1}{4}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1 = 0\\
b)Khi:\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  – 5\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  – 5\\
 \Leftrightarrow x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 – 2{x_1}{x_2} =  – 5{x_1}{x_2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 3{x_1}{x_2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} + 3.\left( { – {m^2} – 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 4{m^2} – 3{m^2} – 3 = 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} = 3\\
 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \\
Vậy\,m =  \pm \sqrt 3 
\end{array}$