Cho phương trình $x^{3}$ -2$x^{2}$ + (m+1)x – m = 0 (1) với m là tham số. tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Cho phương trình $x^{3}$ -2$x^{2}$ + (m+1)x – m = 0 (1) với m là tham số. tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
$x^3-2x^2+(m+1)x-m=0(1)$
$⇔(x-1)(x^2-x+m)=0$
⇔\(\left[ \begin{array}{l}x-1=0(2)\\x^2-x+m=0(3)\end{array} \right.\)
⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x^2-x+m=0\end{array} \right.\)
Vậy để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì:
Phương trình (3) phải có `Δ>0` và nghiệm khác phương trình (2)
*`1^2-1+mne0`
`⇔mne0`
*`x^2-x+m=0`
Ta có: `Δ>0=>1-4m>0<=>m<\frac{1}{4}`
Vậy `mne0` và `m<\frac{1}{4}` thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
`x^3-2x^2+(m+1)x-m=0` `(1)`
`<=>x^3-2x^2+mx+x-m=0`
`<=>x^3-x^2+mx-x^2+x-m=0`
`<=>x(x^2-x+m)-1.(x^2-x+m)=0`
`<=>(x-1)(x^2-x+m)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x-1=0\\x^2-x+m=0\end{array} \right.\)
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x^2-x+m=0 (2)\end{array} \right.\)
Ta có:
Vì Phương trình `(1)` có 3 nghiệm phân biệt,nên:
Phương trình `(2)` có 2 nghiệm phân biệt khác `1`
`=>1^2-1+m\ne0`
`=>m\ne0`
Ta có:
Phương trình `(2)`: `x^2-x+m=0`
`=>\Delta=(-1)^2-4m`
`=>\Delta=1-4m`
Vì Phương trình `(2)` có 2 nghiệm phân biệt,nên: `\Delta>0`
Hay: `1-4m>0`
`<=>1>4m`
`=>m<1/4`
Vậy: Với `m\ne0` và `m<1/4` thì phương trình `(1)` có 3 nghiệm phân biệt