Cho phương trình (3m-1)x^2-2(m+1)x-m+2=0 (m là tham số) a)Chứng minh với mọi m phương trình luôn có nghiệm b)Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình .

Giải thích các bước giải:

a,

Với  \(m = \frac{1}{3}\) thì pt đã cho trở thành:

\( – \frac{8}{3}x + \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{8}\)

Với \(m \ne \frac{1}{3}\) thì pt đã cho là pt bậc 2 có:

\(\begin{array}{l}
‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {3m – 1} \right)\left( { – m + 2} \right)\\
 = {m^2} + 2m + 1 + 3{m^2} – 7m + 2\\
 = 4{m^2} – 5m + 3 > 0,\,\,\,\forall m
\end{array}\)

Do đó, pt đã cho luôn có nghiệm

b,

Áp dụng định lí Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{{3m – 1}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{ – m + 2}}{{3m – 1}}
\end{array} \right.\\
5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 8{x_1}{x_2} = \frac{{10\left( {m + 1} \right)}}{{3m – 1}} – 8.\frac{{ – m + 2}}{{3m – 1}} = \frac{{10m + 10 + 8m – 16}}{{3m – 1}} = \frac{{18m – 6}}{{3m – 1}} = 6\\
 \Rightarrow 5{x_1} + 5{x_2} – 8{x_1}{x_2} – 6 = 0
\end{array}\)

Biểu thức trên là biểu thức liên hệ không chứa tham số m