Cho phương trình : 4x²+(m²+2m-15)x+(m+1)² -20=0
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_[1]$,$x_[2]$ thỏa mãn :
$x_{1}^{2}$+$x_{2}$ +2019 = 0
Cho phương trình : 4x²+(m²+2m-15)x+(m+1)² -20=0
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_[1]$,$x_[2]$ thỏa mãn :
$x_{1}^{2}$+$x_{2}$ +2019 = 0
Nhận thấy phương trình trên có dạng $a-b+c=0$
$\to$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
`x_1=-1;\ x_2=\frac{20-(m+1)^2}{4}`
Ta có: `x_1^2+x_2+2019=0`
`<=>x_1^2=-x_2-2019`
Vì `x_1^2>=0=>-x_2-2019>=0`
`<=>x_2<=-2019`
`=>`$\begin{cases}x_1=-1\\x_2=\dfrac{20-(m+1)^2}{4}\end{cases}$
Thay vào giả thiết, ta có:
`(-1)^2+\frac{20-(m+1)^2}{4}+2019=0`
`<=>\frac{20-(m^2+2m+1)}{4}=-2020`
`<=>-m^2-2m+19=-8080`
`<=>-m^2-2m+8099=0`
`<=>-m^2+89m-91m+8099=0`
`<=>-m(m-89)-91(m-89)=0`
`<=>(m-89)(-m-91)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m-89=0\\-m-91=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=89\\m=-91\end{array} \right.\)
Vậy `m=89` hoặc `m=-91` là các giá trị cần tìm.
Đáp án: $ m = – 91; m = 89$
Giải thích các bước giải:
Từ GT $: x_{1}^{2} + x_{2} + 2019 = 0 (1)$
$ ⇔ x_{2} + 2019 = – x_{1}^{2} ≤ 0 ⇒ x_{2} ≤ – 2019 (2)$
$ PT ⇔ 4x² + [(m + 1)² – 20 + 4]x + (m + 1)² – 20 = 0$
$ ⇔ 4x² + [(m + 1)² – 20]x + 4x + (m + 1)² – 20 = 0$
$ ⇔ (x + 1)[4x + (m + 1)² – 20] = 0$
Vậy PT luôn có 2 nghiệm :
$ x = – 1; x = 5 – \dfrac{1}{4}(m + 1)² $ với $∀m$
Từ $(2) ⇒ x_{1} = – 1; x_{2} = 5 – \dfrac{1}{4}[(m + 1)² $
Thay vào $(1) ⇔ (- 1)² + 5 – \dfrac{1}{4}(m + 1)² + 2019 = 0$
$ ⇔ (m + 1)² = 8100 ⇔ m + 1 = ± 90 $
$ ⇔ m = – 91; m = 89$