Cho phương trình (ẩn x): x^2-2(m+1)x+m^2+2=0 Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức x1^2+x2^2=10

$\Delta=[-2(m+1)]^2-4(m^2+2)$

$=4(m^2+2m+1)-4m^2-8$

$=4m^2+8m+4-4m^2-8$

$=8m-4$

Phương trình có nghiệm khi $\Delta≥0⇔8m-4≥0⇔m≥\dfrac{1}{2}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

$\begin{cases}x_1+x_2=2(m+1)=2m+2\\x_1.x_2=m^2+2\end{cases}$

$x_1^2+x_2^2=10$

$⇔(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=10$

Thay vào ta được:

$(2m+2)^2-2(m^2+2)=10$

$⇔4m^2+8m+4-2m^2-4-10=0$

$⇔2m^2+8m-10=0$

$⇔2m^2-2m+10m-10=0$

$⇔2m(m-1)+10(m-1)=0$

$⇔(m-1)(2m+10)=0$

\(⇔\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\2m+10=0\end{array} \right.\)

\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=1\\x=-5\end{array} \right.\)

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức $x_1^2+x_2^2=10$ thì $m=1$ hoặc $m=-5$.