Cho phương trình bậc hai ẩn x :
x^2 + mx + 2m – 4 = 0 (1)
a) Biết phương trình có một nghiệm x1 = 3. Hãy tính nghiệm còn lại x2 và m .
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm giá trị nguyên dương của m để biểu thức
A = (x1.x2 + 3)/(x1 + x2) có giá trị nguyên.
Giải thích các bước giải:
a.Ta có $x^2+mx+2m-4=0$
$\to (x^2-4)+(mx+2m)=0$
$\to (x-2)(x+2)+m(x+2)=0$
$\to (x+2)(x-2+m)=0$
$\to x\in\{-2, m-2\}$
Vì phương trình có $1$ nghiệm $x=3\to m-2=3\to m=5$ và nghiệm còn lại là $-2$
b.Ta có:
$A=\dfrac{x_1x_2+3}{x_1+x_2}$
$\to A=\dfrac{-2(m-2)+3}{-2+m-2}$
$\to A=\dfrac{-2m+4+3}{m-4}$
$\to A=\dfrac{-2m+7}{m-4}$
Để $A\in Z$
$\to \dfrac{-2m+7}{m-4}\in Z$
Mà $m\in Z$
$\to -2m+7\quad\vdots\quad m-4$
$\to -2(m-4)-1\quad\vdots\quad m-4$
$\to 1\quad\vdots\quad m-4$
$\to m-4\in\{1, -1\}$
$\to m\in\{5, 3\}$