Cho phương trình bậc hai:x²+(m-1)x-(m²-1)=0 (1)
a/ Giải phương trình (1) với m = -1;
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn a= -2b
Cho phương trình bậc hai:x²+(m-1)x-(m²-1)=0 (1)
a/ Giải phương trình (1) với m = -1;
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn a= -2b
`a)` Thay `m = -1` vào phương trình, ta có
` x^2 + (-1-1)x – [ (-1)^2 – 1 ] = 0`
`=> x^2 -2x = 0`
` => x(x-2) = 0`
` =>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x-2=0\end{array} \right.\) `=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array} \right.\)
`b)`
` Δ = (m-1)^2 + 4(m^2-1) = m^2 -2m +1 + 4m^2 -4 = 5m^2 -2m – 3 = (m-1)(5m-3)`
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ` Δ > 0 `
` => (m-1)(5m-3) > 0`
` => m < -3/5` hoặc ` m > 1`
PT có hai nghiệm ` a ; b ` . Theo hệ thức Vi-et
\begin{cases}\ a+b = 1-m \\ ab = 1 – m^2 \end{cases}
`\to`
\begin{cases}\ -b = 1-m \\ -2b^2 = 1 – m^2 \end{cases}
`\to`
\begin{cases}\ b = m-1 \\ b^2 = \dfrac{m^2-1}{2} \end{cases}
`\to`
` ( m -1)^2 = (m^2 -1)/2`
` => 2m^2 -4m + 2 = m^2 -1`
` => m^2 -4m + 3 = 0 => (m-3)(m-1) = 0`
` =>` \(\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=1\end{array} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ` m < -3/5` hoặc ` m > 1`
` => m =3`
Vậy `m = 3`
Đáp án:
a. Với $m = – 1$ ta có phương trình:
$x^2 – 2x = 0 \to x(x – 2) = 0 \to $
$x = 0$; $x – 2 = 0 \to x = 2$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:
$x_1 = 0$; $x_2 = 2$
b. Ta có:
$\Delta = (m – 1)^2 + (m^2 – 1)$
$= m^2 – 2m + 1 + m^2 – 1 = 2m^2 – 2m + 1 > 0$ với mọi giá trị của m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Vi et ta có:
$\left\{\begin{matrix}
x_1 + x_2 = – m + 1 (1)& & \\
x_1.x_2 = – m^2 + 1 (2)& &
\end{matrix}\right.$
Theo bài ra ta có: $x_1 + 2x_2 = 0$ (3)
Kết hợp (1) và (3) ta được:
$\left\{\begin{matrix}
x_1 + x_2 = – m + 1 & & \\
x_1 + 2x_2 = 0& &
\end{matrix}\right.$
$\to \left\{\begin{matrix}
x_1 = – 2m + 2 & & \\
x_2 = m – 1& &
\end{matrix}\right.$
Thay vào (3) ta được:
$(m – 1)(- 2m + 2) = – m^2 + 1$
$\to – m^2 + 4m – 1 = 0$
$\to m = 2 – \sqrt{3}$
hoặc $m = 2 + \sqrt{3}$
Giải thích các bước giải: