Với điều kiện trên, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m – 1}}{{m + 1}}\\ {x_1}{x_2} = \dfrac{m}{{m + 1}} \end{array} \right.\)
Hai nghiệm đã cho đều không lớn hơn \( – 2\) tức là \({x_1};\,\,{x_2} \le – 2\). Do đó:
Đáp án:
\[ – \dfrac{2}{9} \le m \le – \dfrac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ne 0\\
\Delta > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
{\left( {2m – 1} \right)^2} – 4\left( {m + 1} \right).m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
4{m^2} – 4m + 1 – 4{m^2} – 4m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
– 8m + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne – 1\\
m < \dfrac{1}{8}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)
\end{array}\)
Với điều kiện trên, phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m – 1}}{{m + 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{{m + 1}}
\end{array} \right.\)
Hai nghiệm đã cho đều không lớn hơn \( – 2\) tức là \({x_1};\,\,{x_2} \le – 2\). Do đó:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} \le – 4\\
\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 4 \le 0\\
{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2m – 1}}{{m + 1}} + 4 \le 0\\
\dfrac{m}{{m + 1}} + 2.\dfrac{{2m – 1}}{{m + 1}} + 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{2m – 1 + 4\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}} \le 0\\
\dfrac{{m + 2\left( {2m – 1} \right) + 4\left( {m + 1} \right)}}{{m + 1}} \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{6m + 3}}{{m + 1}} \le 0\\
\dfrac{{9m + 2}}{{m + 1}} \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 1 < m \le – \dfrac{1}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m \ge – \dfrac{2}{9}\\
m < – 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow – \dfrac{2}{9} \le m \le – \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)
\end{array}\)
Vậy \( – \dfrac{2}{9} \le m \le – \dfrac{1}{2}\)