Cho phương trình : ( m +2 )x ^2 – 2mx -m+3 =0 . (1) a/ Tìm m và nghiệm còn lại piết pt (1) có 1 nghiệm x=2 . b/ Tìm các giá trị nguyên m để pt (1) có

Đáp án:

$m \in \{4;5;6;9\}$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad (m+2)x^2 – 2mx – m + 3 =0\qquad (1)$

a) Phương trình có hai nghiệm

$\Leftrightarrow \begin{cases}m+ 2 \ne 0\\\Delta_{(1)}’ \geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\m^2 – (m+2)(-m+3) \geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\2m^2 – m – 6 \geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m\ne -2\\\left[\begin{array}{l}m\geqslant 2\\m \leqslant – \dfrac32\end{array}\right.\end{cases}$

Phương trình $(1)$ có nghiệm $x = 2$

Ta được:

$\quad (m+2).2^2 – 2m.2 – m + 3 =0$

$\Leftrightarrow 4m + 8 – 4m – m + 3 =0$

$\Leftrightarrow m = 11$ (nhận)

Theo định lý Vietè ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{2m}{m+2}\\x_1x_2 = \dfrac{-m+3}{m+2}\end{cases}$

Nghiệm còn lại của $(1):$

$x = \dfrac{2.11}{11+2} – 2 = -\dfrac{4}{13}$

b) Theo đề ta có:
$\quad \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \in\Bbb Z$

$\Leftrightarrow \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} \in\Bbb Z$

$\Leftrightarrow \dfrac{2m}{-m + 3} \in\Bbb Z$

$\Leftrightarrow \dfrac{6}{3-m} – 2 \in \Bbb Z$

$\Leftrightarrow 3 – m \in Ư(6)$

$\Leftrightarrow 3 – m \in \{-6;-3;-2;-1;1;2;3;\}$

$\Leftrightarrow m\in \{9;6;5;4;2;1;0\}$

Do $\begin{cases}m\ne -2\\\left[\begin{array}{l}m\geqslant 2\\m \leqslant – \dfrac32\end{array}\right.\end{cases}$

nên $m \in \{4;5;6;9\}$