Cho phương trình: m$x^{2}$ – 2(m + 1)x + (m – 4) = 0 (m là tham số)
a) Xác định m để cách nghiệm $x_{1}$; $x_{2}$ của phương trình trên thỏa mã $x_{1}$ + 4$x_{2}$ = 3
b) Tìm một hệ thức giữa $x_{1}$; $x_{2}$ mà không phụ thuộc vào m
Cho phương trình: m$x^{2}$ – 2(m + 1)x + (m – 4) = 0 (m là tham số)
a) Xác định m để cách nghiệm $x_{1}$; $x_{2}$ của phương trình trên thỏa mã $x_{1}$ + 4$x_{2}$ = 3
b) Tìm một hệ thức giữa $x_{1}$; $x_{2}$ mà không phụ thuộc vào m
Đáp án:
b) \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 5 – {x_1}{x_2}\) là hệ thức không phụ thuộc vào m
Giải thích các bước giải:
a) Để phương trình có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 2m + 1 – m\left( {m – 4} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
6m + 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m \ge – \dfrac{1}{6}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{m + 1 + \sqrt {6m + 1} }}{m}\\
x = \dfrac{{m + 1 – \sqrt {6m + 1} }}{m}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} + 4{x_2} = 3\\
\to {x_1} + {x_2} + 3{x_2} = 3\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{{2m + 2}}{m} + 3.\dfrac{{m + 1 + \sqrt {6m + 1} }}{m} = 3\\
\dfrac{{2m + 2}}{m} + 3.\dfrac{{m + 1 – \sqrt {6m + 1} }}{m} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2m + 2 + 3m + 3 + 3\sqrt {6m + 1} = 3m\\
2m + 2 + 3m + 3 – 3\sqrt {6m + 1} = 3m
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
3\sqrt {6m + 1} = – 2m – 5\\
3\sqrt {6m + 1} = 5m + 5
\end{array} \right.\\
\to 9\left( {6m + 1} \right) = 25{m^2} + 50m + 25\left( {DK:m \ge – 1} \right)\\
\to 25{m^2} – 4m + 16 = 0\left( {vonghiem} \right)\\
\to m \in \emptyset \\
b)\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m + 2}}{m}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m – 4}}{m} = 1 – \dfrac{4}{m}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{4}{{1 – {x_1}{x_2}}}\\
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2.\dfrac{4}{{1 – {x_1}{x_2}}} + 2}}{{\dfrac{4}{{1 – {x_1}{x_2}}}}}\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \to {x_1} + {x_2} = \left( {\dfrac{{8 + 2 – 2{x_1}{x_2}}}{{1 – {x_1}{x_2}}}} \right):\left( {\dfrac{4}{{1 – {x_1}{x_2}}}} \right)\\
\to {x_1} + {x_2} = \dfrac{{10 – 2{x_1}{x_2}}}{4}\\
\to 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 5 – {x_1}{x_2}
\end{array}\)
⇒ \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 5 – {x_1}{x_2}\) là hệ thức không phụ thuộc vào m