cho phương trình x³ + (m-2)x² + (m²- 2m -3)x -2m² + 6= 0 . Tìm tất cả cá giá trị thực của tham số thực m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
cho phương trình x³ + (m-2)x² + (m²- 2m -3)x -2m² + 6= 0 . Tìm tất cả cá giá trị thực của tham số thực m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
By Clara
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x³ + (m – 2)x² + (m² – 2m – 3)x – 2m² + 6 = 0 (*)$
$ ⇔ x³ – 2x² + mx² – 2mx + (m² – 3)x – 2(m² – 3) = 0$
$ ⇔ x²(x – 2) + mx(x – 2) + (m² – 3)(x – 2) = 0$
$ ⇔ (x – 2)(x² + mx + m² – 3) = 0$
$ ⇔ \left \{ {{x – 2 = 0 } \atop {x² + mx + m² – 3 = 0}} \right.⇔ \left \{ {{x = 2 } \atop {x² + mx + m² – 3 = 0 (2)}} \right.$
Để $(*)$ có 3 no pb thì $(2)$ phải có 2 no pb $\neq 2$
$ ⇔ \left \{ {2² + m.2 + m² – 3 \neq 0 \atop Δ = 3(4 – m²) > 0 (2)} \right.⇔ \left \{ {{(m + 1)² \neq 0 } \atop { m² < 4}} \right.$
$ ⇔ \left \{ {{m \neq – 1 } \atop { – 2 < m < 2}} \right. ⇔ – 2 < m < – 1; – 1 < m < 2$
$\begin{array}{l} {x^3} + \left( {m – 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} – 2m – 3} \right)x – 2{m^2} + 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} – 2x + m{x^2} – 2mx + \left( {{m^2} – 3} \right)x – 2\left( {{m^2} – 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} – 3} \right) = 0 \end{array}$
Vậy phương trình luôn có 1 nghiệm bằng 2.
Để cho phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $x^2+mx+m^2-3=0$ có hai nghiệm phân biệt và khác 2
Để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt thi
$\begin{array}{l} \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4\left( {{m^2} – 3} \right) > 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 12 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow – 2 < m < 2(1) \end{array}$
Để cho phương trình có hai nghiệm khác 2 thì:
$\begin{array}{l} {2^2} + 2.m + {m^2} – 3 \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne – 1 (2) \end{array}$
Từ (1) và (2) ta có $\left\{ \begin{array}{l} – 2 < m < – 1\\ – 1 < m < 2 \end{array} \right.$
thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.