Cho pt x^2-2(m-1)x-2m=0
Cm: pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm tất cả giá trị của m sao cho x1^2 +x1-x2=5-2m
Cho pt x^2-2(m-1)x-2m=0
Cm: pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm tất cả giá trị của m sao cho x1^2 +x1-x2=5-2m
Đáp án:
\(m = \pm \frac{3}{4}\)
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ’>0
\(\begin{array}{l}
\to {m^2} – 2m + 1 + 2m > 0\\
\to {m^2} + 1 > 0\left( {ld} \right)\forall m \in R\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = m – 1 + \sqrt {{m^2} + 1} \\
x = m – 1 – \sqrt {{m^2} + 1}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1}^2 + {x_1} – {x_2} = 5 – 2m\\
\to {x_1}\left( {{x_1} + 2} \right) – {x_2} = 5 – 2m\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left( {m – 1 + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\left( {m – 1 + \sqrt {{m^2} + 1} + 1} \right) – m + 1 + \sqrt {{m^2} + 1} = 5 – 2m\\
\left( {m – 1 – \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\left( {m – 1 – \sqrt {{m^2} + 1} + 1} \right) – m + 1 – \sqrt {{m^2} + 1} = 5 – 2m
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\left( {m – 1 + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\left( {m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right) + \sqrt {{m^2} + 1} = 4 – m\\
\left( {m – 1 – \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\left( {m – \sqrt {{m^2} + 1} } \right) – \sqrt {{m^2} + 1} = 4 – m
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
{m^2} + m\sqrt {{m^2} + 1} – m – \sqrt {{m^2} + 1} + m\sqrt {{m^2} + 1} + {m^2} + 1 + \sqrt {{m^2} + 1} = 4 – m\\
{m^2} – m\sqrt {{m^2} + 1} – m + \sqrt {{m^2} + 1} – m\sqrt {{m^2} + 1} + {m^2} + 1 – \sqrt {{m^2} + 1} = 4 – m
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2{m^2} + 2m\sqrt {{m^2} + 1} = 3\\
2{m^2} – 2m\sqrt {{m^2} + 1} = 3
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
2m\sqrt {{m^2} + 1} = 3 – 2{m^2}\\
2m\sqrt {{m^2} + 1} = 2{m^2} – 3
\end{array} \right.\\
\to 4{m^2}\left( {{m^2} + 1} \right) = 9 – 12{m^2} + 4{m^4}\\
\to 4{m^4} + 4{m^2} = 9 – 12{m^2} + 4{m^4}\\
\to 16{m^2} = 9\\
\to {m^2} = \frac{9}{{16}}\\
\to m = \pm \sqrt {\frac{9}{{16}}} \\
\to m = \pm \frac{3}{4}
\end{array}\)