Cho pt x^2-2(m+1)x+2m-3=0 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho biểu thức T =(x1+x2)^2/(x1-x2)^2 đạt GTLN

0 bình luận về “Cho pt x^2-2(m+1)x+2m-3=0 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho biểu thức T =(x1+x2)^2/(x1-x2)^2 đạt GTLN”

1. Đáp án:

   $m = 4$ 

   Giải thích các bước giải:

   \(\begin{array}{l}
   \quad x^2 – 2(m+1)x + 2m – 3 = 0\qquad (*)\\
   \text{Phương trình có hai nghiệm phân biệt}\\
   \Leftrightarrow \Delta_{(*)}’ > 0\\
   \Leftrightarrow (m+1)^2 – (2m -3) >0\\
   \Leftrightarrow m^2 + 4 >0\quad \text{(luôn đúng)}\\
   \text{Áp dụng định lý Viète ta được:}\\
   \begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m+1)\\x_1x_2 = 2m -3\end{cases}\\
   \text{Khi đó:}\\
   \quad T = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{(x_1 – x_2)^2}\\
   \to T = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{(x_1 + x_2)^2 – 4x_1x_2}\\
   \to T = \dfrac{4(m+1)^2}{4(m+1)^2 – 4(2m-3)}\\
   \to T = \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 4}\\
   \to T – \dfrac54 = \dfrac{m^2 + 2m + 1}{m^2 + 4} – \dfrac54\\
   \to T – \dfrac54 = \dfrac{4m^2 + 8m + 4 – 5(m^2 + 4)}{4(m^2 + 4)}\\
   \to T – \dfrac54 = \dfrac{-m^2 + 8m -16}{4(m^2 + 4)}\\
   \to T – \dfrac54 = \dfrac{-(m-4)^2}{4(m^2 + 4)}\\
   \to T – \dfrac54 \leqslant 0\\
   \to T \leqslant \dfrac54\\
   \text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow m – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\\
   \text{Vậy}\ \max T = \dfrac54 \Leftrightarrow m = 4
   \end{array}\)

   Trả lời