Cho pt : x^2 – 2(m-1)x -m-3=0
a) Tìm m để pt có (1) có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x1^2 + x2^2=10
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm k phụ thuộc vào giá trị m
Cho pt : x^2 – 2(m-1)x -m-3=0
a) Tìm m để pt có (1) có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x1^2 + x2^2=10
b)Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm k phụ thuộc vào giá trị m
a/ Ta có: \(a=1,b=-2(m-1),c=-m-3\)
\(Δ=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4.1.(-m-3)\\=4(m^2-2m+1)+4m+12\\=4m^2-8m+4+4m+12\\=4m^2-4m+1+15\\=(2m-1)^2+15\)
Vì \( (2m-1)^2\ge 0→Δ=(2m-1)^2+15>0\)
\(→\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(∀m\)
Theo hệ thức Vi-ét:
\(\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-3\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2=10\\↔(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=10\\↔(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10\\↔[2(m-1)]^2-2(-m-3)=10\\↔4(m^2-2m+1)+2m+6=10\\↔4m^2-8m+4+2m+6=10\\↔4m^2-6m+10=10\\↔4m^2-6m=0\\↔2m(2m-3)=0\\↔\left[\begin{array}{1}m=0\\2m-3=0\end{array}\right.↔\left[\begin{array}{1}m=0\\m=\dfrac{3}{2}\end{array}\right.\)
Vậy \(m=0\) hoặc \(m=\dfrac{3}{2}\) thì pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=10\)
b/ \(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=-m-3\end{cases}↔\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\2x_1x_2=-2m-6\end{cases}\\→x_1+x_2+2x_1x_2=2m-2-2m-6=-8\)
Vậy hệ thức liên hệ giũa các nghiệm của pt không phụ thuộc vào \(m\) là \(x_1+x_2+2x_1x_2=-8\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Pt có hai nghiệm phân biệt⇔Δ’=$(m-1)^{2}+m+3$ >0
⇔$m^{2}-m+4>0$ với mọi m
Theo Viet ta có:$\left \{ {{x_1+x_2=2(m-1)} \atop {x_1.x_2=-m,-3}} \right.$
Ta có: $x_1^{2}+x_2^2=10$
⇔$(x_1+x_2)^{2}-2x_1.x_2=10$
⇔$4(m-1)^{2}-2(-m-3)=10$
⇔$4m^{2}-6m=0$
⇔\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=\frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Vậy
b)
Ta có: $x_{1}+x_2+2x_1.x_2=2(m-1)+2(-m-3)=2m-2-2m-6=-8$
⇒$x_{1}+x_2+2x_1.x_2$ là biểu thức cần tìm.