Cho pt: $x^2-2mx+2m-5=0$
1) CM pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2) Tìm điều kiện của m để pt có 2 nghiệm trái dấu
3) Gọi 2 nghiệm của pt là $x_{1},x_{2}$ . Tìm m để : $x_{1}^2(1-x_{2}^2)+x_{2}^2(1-x_{1}^2)=-8$
Cho pt: $x^2-2mx+2m-5=0$
1) CM pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2) Tìm điều kiện của m để pt có 2 nghiệm trái dấu
3) Gọi 2 nghiệm của pt là $x_{1},x_{2}$ . Tìm m để : $x_{1}^2(1-x_{2}^2)+x_{2}^2(1-x_{1}^2)=-8$
Đáp án + Giải thích các bước giải:
`x^2-2mx+2m-5=0` `(1)`
`1)` `Delta=(-2m)^2-4.1.(2m-5)`
`=4m^2-8m+20`
`=4m^2-8m+4+16`
`=(2m-2)^2+16\geq16>0∀m∈RR`
`=>` Phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi `m`
`2)` Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì: `ac<0`
`<=>2m-5<0`
`<=>2m<5`
`<=>m<5/2`
Vậy khi `m<5/2` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm trái dấu.
`3)` Theo phần 1, thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-5\end{cases}$
Lại có: `x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)=-8`
`<=>x_1^2-x_1^2x_2^2+x_2^2-x_1^2x_2^2=-8`
`<=>x_1^2+x_2^2-2x_1^2x_2^2=-8`
`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2(x_1x_2)=-8`
`=>(2m)^2-2(2m-5)-2(2m-5)(2m-5)=-8`
`<=>4m^2-4m+10-2(4m^2-10m-10m+25)=-8`
`<=>4m^2-4m+10-2(4m^2-20m+25)=-8`
`<=>4m^2-4m+10-8m^2+40m-50+8=0`
`<=>-4m^2+36m-32=0`
`<=>-4(m^2-9m+8)=0`
`<=>m^2-9m+8=0`
`<=>m^2-8m-m+8=0`
`<=>m(m-8)-(m-8)=0`
`<=>(m-8)(m-1)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-8=0\\m-1=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=8\\m=1\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=8;m=1` thì phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn `x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)=-8`
Giải thích các bước giải:
`x^2-2mx+2m-5=0`
1.
`Δ’=b^2-ac=m^2-2m+5=(m-1)^2+4`
Vì `(m-1)^2≥0;4>0`
`⇒(m-1)^2+4≥4>0∀m`
`⇒Δ’>0`
`⇒` Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m
2.
Để phương trình có `2` nghiệm trái dấu
`⇔a.c<0`
`⇔2m-5<0`
`⇔m<(5)/(2)`
3. Vi-ét ta có:
`x_1+x_2=(-b)/(2a)=2m` (1)
`x_1.x_2=(c)/(a)=2m-5` (2)
`x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)=-8`
`⇔x_1^2+x_2^2-2.x_1^2.x_2^2=-8`
`⇔(x_1+x_2)^2-2.x_1.x_2-2.(x_1.x_2)^2=-8` (*)
Thay (1) và (2) vào (*) `⇒4m^2-2.(2m-5)-2.(2m-5)^2=-8`
`⇔4m^2-4m+10-8m^2+40m-50+8=0`
`⇔-4m^2+36m-32=0`
`⇔`\(\left[ \begin{array}{l}m=8\\m=1\end{array} \right.\)