Cho pt: `x^2-2mx+m^2-2=0`. Tìm m để phương trình có `2` nghiệm `x_1, x_2` thỏa mãn: `|x_1^3-x_2^3|=10\sqrt{2}`.

0 bình luận về “Cho pt: `x^2-2mx+m^2-2=0`. Tìm m để phương trình có `2` nghiệm `x_1, x_2` thỏa mãn: `|x_1^3-x_2^3|=10\sqrt{2}`.”

1. Đáp án:

   $m= \pm 1$ 

   Giải thích các bước giải:

   $x^2-2mx+m^2-2=0$

   $\Delta’=(-m)^2-(m^2-2)=2>0;\ \sqrt{\Delta’}=\sqrt2$

   $\to$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

   $x_1=\dfrac{-b’-\sqrt{\Delta’}}{a}=m-\sqrt2$

   $x_2=\dfrac{-b’+\sqrt{\Delta’}}{a}=m+\sqrt2$

   Theo giả thiết:

   $|x_1^3-x_2^3|=10\sqrt2$

   $\to |(m-\sqrt2)^3-(m+\sqrt2)^3|=10\sqrt2$

   $\to |m^3-3\sqrt2m^2+6m-2\sqrt2-m^3-3\sqrt2m^2-6m-2\sqrt2|=10\sqrt2$

   $\to |-6\sqrt2m^2-4\sqrt2|=10\sqrt2$

   $\to 6\sqrt2m^2+4\sqrt2=10\sqrt2$

   $\to 6\sqrt2m^2=6\sqrt2$

   $\to m^2=1$

   $\to m= \pm 1$

   Vậy $m=\pm 1$ là giá trị cần tìm. 

   Bình luận

2. Đáp án:

   $m = \pm 1$

   $\quad x^2 – 2mx + m^2 – 2 = 0$

   Phương trình có hai nghiệm phân biệt

   $\Leftrightarrow \Delta’ > 0$

   $\Leftrightarrow m^2 – (m^2 – 2) > 0$

   $\Leftrightarrow 2 > 0$ (hiển nhiên)

   $\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

   Áp dụng định lý Viète ta được:

   $\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m\\x_1x_2 = m^2- 2\end{cases}$

   Khi đó:

   $\quad \left|x_1^3 – x_2^3\right|= 10\sqrt2$

   $\Rightarrow (x_1^3 – x_2^3)^2 = 200$

   $\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2)^2 = 200$

   $\Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2 – 4x_1x_2][(x_1+x_2)^2 – x_1x_2]^2= 200$

   $\Leftrightarrow [4m^2 – 4(m^2- 2)][4m^2 – (m^2 – 2)]^2= 200$

   $\Leftrightarrow (3m^2 + 2)^2 = 25$

   $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}3m^2 + 2 =5\\3m^2 + 2 = -5\quad \text{(vô nghiệm)}\end{array}\right.$

   $\Leftrightarrow 3m^2 = 3$

   $\Leftrightarrow m^2 = 1$

   $\Leftrightarrow m = \pm 1$

   Vậy $m = \pm 1$

   Bình luận