cho pt x^2-2mx+m^2-2m=0 (1) tìm m để pt(1) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn: P=x1(x1+1)+x2(x2+1)+2021 đạt GTLN

Đáp án:

Biểu thức không tồn tại m để có GTLN

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \to \Delta ‘ > 0\\
 \to {m^2} – {m^2} + 2m > 0\\
 \to m > 0\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = {m^2} – 2m
\end{array} \right.\\
P = {x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right) + 2021\\
 = {x_1}^2 + {x_1} + {x_2}^2 + {x_2} + 2021\\
 = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) – 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
 = 4{m^2} – 2\left( {{m^2} – 2m} \right) + 2m + 2021\\
 = 2{m^2} + 6m + 2021\\
 = 2\left( {{m^2} + 2.m.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{2}} \right) + 2012\\
 = 2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2012\\
Do:2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m\\
 \to 2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2012 \ge 2012\\
 \to m + \dfrac{3}{2} = 0\\
 \to m =  – \dfrac{3}{2}
\end{array}\)

⇒ Biểu thức không tồn tại m để có GTLN