Cho pt : x^2-(3m+1)x+2m^2+m-1 =0 (1) A,CMR pt 1 luôn có 2 nghiệm phân biệt với V giá trị của M B, Gọi x1 x2 là các nghiệm của phương trình 1 .Tìm m để

Đáp án: m = $\frac{1}{2}$ 

Giải thích các bước giải:

a) Pt có 2 nghiệm phân biệt ∀ m khi :

Δ > 0 ⇔ ( – ( 3 m + 1 ) )² – 4 ( 2m² + m – 1 ) > 0

⇔ Δ = 9m² – 6m + 1 – 8m² – 4m + 4

= m² – 10m + 5

= m ( m – 10 ) + 5 ≥ 0 ∀ m

b) Theo Vi-et có : 

$\left \{ {{x_{1}x_{2} = \frac{2m^{2} + m – 1 }{1} = 2m^{2} + m -1 } \atop {x_{1} + x_{2} = \frac{3m + 1}{1} = 3m + 1 }} \right.$

Ta có : A = x1² + x2² – 3x1x2 = ( x1 + x2 )² – 5x1x2

A ⇔ ( 3m + 1 )² – 5 ( 2m² + m – 1 )

⇔ 9m² + 6m + 1 – 10m² – 5m + 5

⇔ -m² + m + 6

⇔ – ( m² – m – 6 )

⇔ – ( ( m – $\frac{1}{2}$ )$^{2}$ – $\frac{1}{4}$ – 6 )

⇔ – ( m – $\frac{1}{2}$ )$^{2}$ + $\frac{25}{4}$ 

Biểu thức đạt GTLN khi – ( m – $\frac{1}{2}$ )$^{2}$ = 0 ⇔ m = $\frac{1}{2}$ 

Vậy biểu thức đạt GTLN = $\frac{25}{4}$ khi m = $\frac{1}{2}$