Cho pt x^-2(m+1)x+2m+10=0.,tìm m để pt đc có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn P=x1^+x2^-x1x2 đạt GTNN 18/08/2021 Bởi Gabriella Cho pt x^-2(m+1)x+2m+10=0.,tìm m để pt đc có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn P=x1^+x2^-x1x2 đạt GTNN
$x^{2}$ – 2(m+1)x + 2m + 10 = 0 (*) Pt (*) có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ khi Δ’ $\geq$ 0 ⇔ $(m+1)^{2}$ – 2m – 10 $\geq$ 0 ⇔ $m^{2}$ + 2m + 1 – 2m – 10 $\geq$ 0 ⇔ $m^{2}$ – 9 $\geq$ 0 ⇔ $m^{2}$ $\geq$ 9 ⇔ m $\leq$ -3 hoặc m $\geq$ 3 Theo Viet, ta có: $\left \{ {{x_{1}+x_{2}=2(m+1)} \atop {x_{1}.x_{2}=2m+10}} \right.$ P = $x_{1}^2$ + $x_{2}^2$ – $x_{1}$$x_{2}$ = ($x_{1}^2$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ + $x_{2}^2$) – 3$x_{1}$$x_{2}$ = $(x_{1}+x_{2})^{2}$ – 3$x_{1}$$x_{2}$ = 4$(m+1)^{2}$ – 3(2m+10) = $4m^{2}$ + 8m + 4 – 6m – 30 = $4m^{2}$ + 2m – 26 = $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ – $\frac{105}{4}$ $\geq$ – $\frac{105}{4}$ (vì $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ $\geq$ 0 ∀m) ⇒ $P_{MIN}$ = – $\frac{105}{4}$ Dấu “=” xảy ra khi $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ = 0 ⇔ 2m + $\frac{1}{2}$ = 0 ⇔ 2m = $\frac{-1}{2}$ ⇔ m = -$\frac{1}{4}$ Vậy P đạt GTNN là – $\frac{105}{4}$ khi m = -$\frac{1}{4}$. Bình luận
Đáp án: Ta có : Δ’ = ( m +1 )² -( 2m + 10 ) = $m^{2}$ + 2m + 1 – 2m – 10 = $m^{2}$ – 9 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔ $m^{2}$ – 9> 0 ⇔ $m^{2}$ > 9 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 3 \\m < -3 \end{array} \right.\) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình : $\left \{ {{x1+x2=2m + 2} \atop {x1.x2=2m + 10}} \right.$ Theo bài ra : P = $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ – $x_{1}$$x_{2}$=> P = ($x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ ) – 3$x_{1}$$x_{2}$=> P = ( $x_{1}$ + $x_{2}$ )² – 3$x_{1}$$x_{2}$=> P = ( 2m + 2 )² – 3.(2m + 10 )=> P = $4m^{2}$ + 8m + 4 – 6m – 30=> P = $4m^{2}$ + 2m – 26=> P = ( $4m^{2}$ + 2m + $\frac{1}{4}$ ) – $\frac{105}{4}$ => P = ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² – $\frac{105}{4}$Vì ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² $\geq$ 0=> ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² – $\frac{105}{4}$ $\geq$ – $\frac{105}{4}$=> P $\geq$ – $\frac{105}{4}$=> $MIN_{P}$ = – $\frac{105}{4}$Dấu ” = ” xảy ra ⇔ ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² = 0 ⇔ 2m + $\frac{1}{2}$ = 0 ⇔ m = $\frac{-1}{4}$ Vậy $MIN_{P}$ = – $\frac{105}{4}$ ⇔ m = $\frac{-1}{4}$ Bình luận
$x^{2}$ – 2(m+1)x + 2m + 10 = 0 (*)
Pt (*) có 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ khi Δ’ $\geq$ 0
⇔ $(m+1)^{2}$ – 2m – 10 $\geq$ 0
⇔ $m^{2}$ + 2m + 1 – 2m – 10 $\geq$ 0
⇔ $m^{2}$ – 9 $\geq$ 0
⇔ $m^{2}$ $\geq$ 9
⇔ m $\leq$ -3 hoặc m $\geq$ 3
Theo Viet, ta có:
$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=2(m+1)} \atop {x_{1}.x_{2}=2m+10}} \right.$
P = $x_{1}^2$ + $x_{2}^2$ – $x_{1}$$x_{2}$
= ($x_{1}^2$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ + $x_{2}^2$) – 3$x_{1}$$x_{2}$
= $(x_{1}+x_{2})^{2}$ – 3$x_{1}$$x_{2}$ = 4$(m+1)^{2}$ – 3(2m+10)
= $4m^{2}$ + 8m + 4 – 6m – 30
= $4m^{2}$ + 2m – 26
= $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ – $\frac{105}{4}$ $\geq$ – $\frac{105}{4}$ (vì $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ $\geq$ 0 ∀m)
⇒ $P_{MIN}$ = – $\frac{105}{4}$
Dấu “=” xảy ra khi $(2m+\frac{1}{2})^{2}$ = 0
⇔ 2m + $\frac{1}{2}$ = 0
⇔ 2m = $\frac{-1}{2}$
⇔ m = -$\frac{1}{4}$
Vậy P đạt GTNN là – $\frac{105}{4}$ khi m = -$\frac{1}{4}$.
Đáp án:
Ta có :
Δ’ = ( m +1 )² -( 2m + 10 ) = $m^{2}$ + 2m + 1 – 2m – 10 = $m^{2}$ – 9
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇔ $m^{2}$ – 9> 0
⇔ $m^{2}$ > 9
⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 3 \\m < -3 \end{array} \right.\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình :
$\left \{ {{x1+x2=2m + 2} \atop {x1.x2=2m + 10}} \right.$
Theo bài ra :
P = $x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ – $x_{1}$$x_{2}$
=> P = ($x^{2}_{1}$ + $x^{2}_{2}$ + 2$x_{1}$$x_{2}$ ) – 3$x_{1}$$x_{2}$
=> P = ( $x_{1}$ + $x_{2}$ )² – 3$x_{1}$$x_{2}$
=> P = ( 2m + 2 )² – 3.(2m + 10 )
=> P = $4m^{2}$ + 8m + 4 – 6m – 30
=> P = $4m^{2}$ + 2m – 26
=> P = ( $4m^{2}$ + 2m + $\frac{1}{4}$ ) – $\frac{105}{4}$
=> P = ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² – $\frac{105}{4}$
Vì ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² $\geq$ 0
=> ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² – $\frac{105}{4}$ $\geq$ – $\frac{105}{4}$
=> P $\geq$ – $\frac{105}{4}$
=> $MIN_{P}$ = – $\frac{105}{4}$
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ ( 2m + $\frac{1}{2}$ )² = 0
⇔ 2m + $\frac{1}{2}$ = 0
⇔ m = $\frac{-1}{4}$
Vậy $MIN_{P}$ = – $\frac{105}{4}$ ⇔ m = $\frac{-1}{4}$