Cho PT: x² – 2(m+1)x + m – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Chứng minh rằng biểu thức M = $x_{1}$( 1- $x_{2}$ ) + $x_{2}$(1 – $x_{1}$) trong đó $x_{1}$, $x_{2}$ là 2 nghiệm của PT(1) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Cho PT: x² – 2(m+1)x + m – 1 = 0 (1) a) Chứng minh PT(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Chứng minh rằng biểu thức M = $x_{1}$( 1- $x_{
By Emery
`a)` `x² – 2(m+1)x + m – 1 = 0\ (1)`
`∆’=b’^2-ac=[-(m+1)]^2-1.(m-1)`
`∆’=m^2+2m+1-m+1=m^2+m+2`
`∆’=m^2+2.m. 1/ 2 +1/ 4 +7/ 4`
`∆’=(m+1/ 2)^2+7/ 4\ge 7/4>0` với mọi $m$
`=>` Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
$\\$
`b)` Với `x _1;x_2` là hai nghiệm của $PT (1)$, theo hệ thức Viet ta có:
`\qquad x_1+x_2={-b}/a=2(m+1)`
`\qquad x_1x_2=c/a=m-1`
$\\$
`\qquad M=x_1(1-x_2)+ x_2(1-x_1)`
`<=>M=x_1-x_1x_2+x_2-x _1x_2`
`<=>M=(x_1+x_2)-2x_1x_2`
`<=>M=2(m+1)-2.(m-1)`
`<=>M=2m+2-2m+2=4`
Vậy `M` không phụ thuộc vào giá trị của $m$