Cho pt : x ² + 2(m-1)x + m -3 =0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn
($x_{1}$ – $x_{2}$ ) ² – $x_{1}$ $x_{2}$ = 10
Cho pt : x ² + 2(m-1)x + m -3 =0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn
($x_{1}$ – $x_{2}$ ) ² – $x_{1}$ $x_{2}$ = 10
Đáp án:
`m∈{1;9/4}.`
Giải thích các bước giải:
Xét phương trình `x^2+2(m-1)x+m-3=0` có:
`Δ’=(m-1)^2-(m-3)=m^2-2m+1-m+3=m^2-3m+4=(m-3/2)^2+7/4≥7/4>0∀x`
`=>` phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lí Vi-et: $ \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=-2(m-1)=2-2m\\ x_1 .x_2=m-3\end{array} \right.\\$
Ta có: `(x_1-x_2)^2-x_1.x_2=10`
`<=>x_1^2+x_2^2-2x_1.x_2-x_1.x_2=10`
`<=>(x_1+x_2)^2-5x_1.x_2=10`
`<=>(2-2m)^2-5(m-3)=10`
`<=>4-8m+4m^2-5m+15=10`
`<=>4m^2-13m+9=0`
`<=>(m-1)(m-9/4)=0`
`=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=\dfrac{9}{4}\end{array} \right.\)
Vậy `m∈{1;9/4}.`
`x^2+2(m-1)x+m-3=0`
`\Delta’=(m-1)^2-(m-3)`
`=m^2-2m+1-m+3`
`=m^2-3m+4`
`=m^2-3m+9/4+7/4`
`=(m-3/2)^2+7/4>0` với mọi `m`
`=>` PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi `m`
Theo viet ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=-2m+2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.$
Giả thiết:
`(x_1-x_2)^2-x_1x_2=10`
`<=>x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-x_1x_2=10`
`<=>x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=10`
`<=>(x_1+x_2)^2-5x_1x_2=10`
`<=>(-2m+2)^2-5(m-3)=10`
`<=>4m^2-8m+4-5m+15=10`
`<=>4m^2-13m+19=10`
`<=>4m^2-13m+9=0`
`<=>4m^2-4m-9m+9=0`
`<=>4m(m-1)-9(m-1)=0`
`<=>(m-1)(4m-9)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\4m-9=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=\dfrac94\end{array} \right.\)
Vậy `m=1` hoặc `m=9/4` là giá trị cần tìm.