Cho pt x^2 – (m + 2)x + 3m – 3 = 0 (1). Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt sao cho x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạn

Đáp án:

`m=5` 

Giải thích các bước giải:

`\qquad x^2-(m+2)x+3m-3=0`

`a=1;b=-(m+2);c=3m-3`

`∆=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4.1.(3m-3)`

`=m^2+4m+4-12m+12`

`=m^2-8m+16=(m-4)^2`

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

`<=>∆>0`

`<=>(m-4)^2>0`

`<=>m\ne 4`

Theo hệ thức Viet ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=3m-3\end{cases}$

$\\$

Để cho `x_1, x_2` là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng `5` thì:

$\begin{cases}x_1>0\\x_2>0\\x_1^2+x_2^2=5^2\ (định lý Pytago)\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x_1+x_2=m+2>0\\x_1x_2=3m-3>0\\(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=25\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m> -2\\m>1\\(m+2)^2-2.(3m-3)=25\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m>1\\m^2+4m+4-6m+6=25\ (*)\end{cases}$

(*)`<=>m^2-2m-15=0`

`<=>m^2-5m+3m-15=0`

`<=>m(m-5)+3(m-5)=0`

`<=>(m-5)(m+3)=0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}m=5\ (thỏa\ đk)\\m=-3\ (loại)\end{array}\right.$

Vậy `m=5` thỏa đề bài