Cho pt: x ² – (3m+1)x + 2m ² + m – 1
Gọi $x_{1}$ ; $x_{2}$ là các nghiệm của pt. Tìm m để biểu thức B = $x_{1}$² + $x_{2}$ ² – 3 $x_{1}$ $x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất
Cho pt: x ² – (3m+1)x + 2m ² + m – 1
Gọi $x_{1}$ ; $x_{2}$ là các nghiệm của pt. Tìm m để biểu thức B = $x_{1}$² + $x_{2}$ ² – 3 $x_{1}$ $x_{2}$ đạt giá trị lớn nhất
$\Delta= (3m+1)^2-4.(2m^2+m-1)$
$= 9m^2+6m+1-8m^2-4m+4$
$= m^2+2m+5$
$= (m+1)^2+4>0$ (luôn đúng)
Theo Viet:
$x_1+x_2= 3m+1$
$x_1x_2= 2m^2+m-1$
$x_1^2+x_2^2-3x_1x_2$
$= (x_1+x_2)^2-5x_1x_2$
$= (3m+1)^2-5(2m^2+m-1)$
$= 9m^2+6m+1-10m^2-5m+5$
$= -m^2+m+6$
$= -m^2+2m.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{13}{2}$
$= -(m-\frac{1}{2})^+\frac{13}{2} \le \frac{13}{2}$
$\text{max}=\frac{13}{2}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
Đáp án:
\(MaxB = \frac{{25}}{4}\)
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ>0
\(\begin{array}{l}
\to 9{m^2} + 6m + 1 – 8{m^2} – 4m + 4 > 0\\
\to {m^2} + 2m + 5 > 0\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\left( {ld} \right)\forall m \in R\\
Có:B = {x_1}^2 + {x_2}^2 – 3{x_1}{x_2}\\
= {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 5{x_1}{x_2}\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 5{x_1}{x_2}\\
= {\left( {3m + 1} \right)^2} – 5\left( {2{m^2} + m – 1} \right)\\
= 9{m^2} + 6m + 1 – 10{m^2} – 5m + 5\\
= – {m^2} + m + 6\\
= – \left( {{m^2} – m – 6} \right)\\
= – \left( {{m^2} – 2m.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{{25}}{4}} \right)\\
= – {\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4}\\
Do:{\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m \in R\\
\to – {\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\\
\to – {\left( {m – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{4} \le \frac{{25}}{4}\\
\to B \le \frac{{25}}{4}\\
\to MaxB = \frac{{25}}{4}\\
\Leftrightarrow m – \frac{1}{2} = 0\\
\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}
\end{array}\)