Cho $Q = \sqrt{x^2 -xy + y^2} + \sqrt{y^2 – yz + z^2} + \sqrt{x^2 – xz + z^2}$ với x, y, z > 0 và $x + y +z = 3$ Chứng minh rằng $Q \geq 3$

0 bình luận về “Cho $Q = \sqrt{x^2 -xy + y^2} + \sqrt{y^2 – yz + z^2} + \sqrt{x^2 – xz + z^2}$ với x, y, z > 0 và $x + y +z = 3$ Chứng minh rằng $Q \geq 3$”

1. `Q=sqrt{x^2-xy+y^2}+sqrt{y^2-yz+z^2}+sqrt{x^2-xz+z^2}`

   `<=>2Q=sqrt{4x^2-4xy+4y^2}+sqrt{4y^2-4yz+4z^2}+sqrt{4x^2-4xz+4z^2}`

   `<=>2Q=sqrt{3x^2-6xy+3y^2+x^2+2xy+y^2}+sqrt{3y^2-6zy+3z^2+z^2+2zy+y^2}+sqrt{3z^2-6xz+3x^2+x^2+2xz+z^2}`

   `<=>2Q=sqrt{3(x-y)^2+(x+y)^2}+sqrt{3(y-z)^2+(y+z)^2}+sqrt{3(z-x)^2+(x+y)^2}`

   Vì `(x-y)^2>=0AAx,y`

   `<=>3(x-y)^2>=0AAx,y`

   `<=>3(x-y)^2+(x+y)^2>=(x+y)^2`

   `<=>sqrt{3(x-y)^2+(x+y)^2}>=x+y`

   Hoàn toàn tương tự ta có:

   `sqrt{3(y-z)^2+(y+z)^2}>=y+z`

   `sqrt{3(z-x)^2+(x+y)^2}>=z+x`

   Cộng từng vế các bất đẳng thức ta có:

   `2Q>=2(x+y+z)`

   `<=>Q>x+y+z=3`.

   Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z=1`.

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta có :

   $ 3(x – y)² ≥ 0 ⇔ 3x² – 6xy + 3y² ≥ 0$

   $ ⇔ 4x² – 4xy + 4y² ≥ x² + 2xy + y² $

   $ ⇔ x² – xy + y² ≥ \dfrac{(x + y)²}{4} $

   $ ⇔ \sqrt{x² – xy + y²} ≥ \dfrac{x + y}{2} (1)$ 

   Tương tự :

   $ \sqrt{y² – yz + z²} ≥ \dfrac{y + z}{2} (2)$ 

   $ \sqrt{z² – zx + x²} ≥ \dfrac{z + x}{2} (3)$

   $(1) + (2) + (3) $ chú ý $: x + y + z = 3 ⇒ đpcm$

    

   Bình luận