Cho $Q = \sqrt{x^2 -xy + y^2} + \sqrt{y^2 – yz + z^2} + \sqrt{x^2 – xz + z^2}$
với x, y, z > 0 và $x + y +z = 3$
Chứng minh rằng $Q \geq 3$
Cho $Q = \sqrt{x^2 -xy + y^2} + \sqrt{y^2 – yz + z^2} + \sqrt{x^2 – xz + z^2}$ với x, y, z > 0 và $x + y +z = 3$ Chứng minh rằng $Q \geq 3$
By Natalia
`Q=sqrt{x^2-xy+y^2}+sqrt{y^2-yz+z^2}+sqrt{x^2-xz+z^2}`
`<=>2Q=sqrt{4x^2-4xy+4y^2}+sqrt{4y^2-4yz+4z^2}+sqrt{4x^2-4xz+4z^2}`
`<=>2Q=sqrt{3x^2-6xy+3y^2+x^2+2xy+y^2}+sqrt{3y^2-6zy+3z^2+z^2+2zy+y^2}+sqrt{3z^2-6xz+3x^2+x^2+2xz+z^2}`
`<=>2Q=sqrt{3(x-y)^2+(x+y)^2}+sqrt{3(y-z)^2+(y+z)^2}+sqrt{3(z-x)^2+(x+y)^2}`
Vì `(x-y)^2>=0AAx,y`
`<=>3(x-y)^2>=0AAx,y`
`<=>3(x-y)^2+(x+y)^2>=(x+y)^2`
`<=>sqrt{3(x-y)^2+(x+y)^2}>=x+y`
Hoàn toàn tương tự ta có:
`sqrt{3(y-z)^2+(y+z)^2}>=y+z`
`sqrt{3(z-x)^2+(x+y)^2}>=z+x`
Cộng từng vế các bất đẳng thức ta có:
`2Q>=2(x+y+z)`
`<=>Q>x+y+z=3`.
Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z=1`.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$ 3(x – y)² ≥ 0 ⇔ 3x² – 6xy + 3y² ≥ 0$
$ ⇔ 4x² – 4xy + 4y² ≥ x² + 2xy + y² $
$ ⇔ x² – xy + y² ≥ \dfrac{(x + y)²}{4} $
$ ⇔ \sqrt{x² – xy + y²} ≥ \dfrac{x + y}{2} (1)$
Tương tự :
$ \sqrt{y² – yz + z²} ≥ \dfrac{y + z}{2} (2)$
$ \sqrt{z² – zx + x²} ≥ \dfrac{z + x}{2} (3)$
$(1) + (2) + (3) $ chú ý $: x + y + z = 3 ⇒ đpcm$